Profielwerkstuk Wiskunde Het tientallig getallenstelsel

Inhoudsopgave

Inleiding
Hoofdstuk 1: Wat is het verschil tussen cijfers en getallen?
Hoofdstuk 2: Hoe zijn de huidige getallen ontstaan?
Hoofdstuk 3: Hoe is het tientallig getallenstelsel ontstaan? En hoe werkt het?
Hoofdstuk 4: Hoe heeft de mens leren tellen?
Hoofdstuk 5: Wat voor soorten getallen zijn er? En wat houden ze in?
Hoofdstuk 6: Waarom werkte het Romeinse getallenstelsel niet goed?
Hoofdstuk 7: Wat is er zo bijzonder aan het getal 0 en ‘oneindig’?
Hoofdstuk 8: Waarom werken computers met een tweetallig getallenstelsel? En hoe werkt dat?
Hoofdstuk 9: Hoe zou de wereld eruit zien zonder getallen?
Antwoord op de hoofdvraag
Conclusie
Bronnenlijst
Logboek

Inleiding

Cijfers, we gebruiken ze allemaal. Om te meten, te tellen, te nummeren en te rekenen. Zonder cijfers komen we moeilijk op tijd voor een afspraak, weten we niet hoeveel een kubieke meter is, welke bus we moeten nemen en moeten we heel wat langer in de pashokjes staan. Toch staan de meeste mensen er niet bij stil dat getallen ons leven zo beïnvloeden. In het begin wist men niet hoe ze iets konden bijhouden of registreren. Als men twee schapen had rondlopen in de wei, kon men nog makkelijk zien of ze er nog waren, als ze weer naar de stallen moesten. Maar wat als je een goede schaapherder was en je had 10 schapen? Of 30? Of misschien zelfs 55? Dan is het wel heel moeilijk om al die schapen bij te houden. Met behulp van cijfers is het heel makkelijk om die schapen te tellen. Het blijkt dus wel dat cijfers van een groot belang zijn in het leven van de mens.

Omdat ik wel meer te weten wil komen over de cijfers heb ik voor mijn profielwerkstuk het onderwerp getallenstelsels gekozen. Dit lijkt mij een heel interessant onderwerp. Mijn hoofdvraag is: Waarom gebruiken wij het tientallig getallenstelsel?
De deelvragen die ik hiervoor ga beantwoorden zijn:
- Wat is het verschil tussen cijfers en getallen?
- Hoe zijn de huidige getallen ontstaan?
- Hoe is het tientallig getallenstelsel ontstaan? En hoe werkt het?
- Hoe heeft de mens leren tellen?
- Wat voor soorten getallen zijn er? En wat houden ze in?
- Waarom werkte het Romeinse getallenstelsel niet goed?
- Wat is er zo bijzonder aan het getal 0?
- Wat is er zo bijzonder aan ‘ oneindig ’ ?
- Waarom werken computers met een tweetallig getallenstelsel?
En hoe werkt dat?
- Hoe zou de wereld eruit zien zonder getallen?

Ik hoop dat ik na het maken van dit profielwerkstuk nieuwe dingen te weten ben gekomen over getallen.
Hoofdstuk 1: Wat is het verschil tussen cijfers en getallen?

Cijfers zijn veel eerder uitgevonden dan letters. Al in prehistorische tijden kerfden mensen groeven in hout om aantallen vast te leggen, volgens een systeem dat veel lijkt op het tegenwoordige turven. Over de hele wereld kwam men daarbij vanzelf tot gelijksoortige notaties, omdat die het gemakkelijkste zijn aan te brengen in hout. Sinds onheuglijke tijden hebben de Dalmatische schaapherders in Joegoslavië bijvoorbeeld een I gebruikt om een één, en een X om een tien aan te geven. In de negentiende eeuw ontdekte men dat de Zoenji-indianen in Noord-Amerika een systeem gebruiken dat ons nog bekender voorkomt: zo noteerden zij 26 als XXVI, en 24 als XXIV. Kortom, zij hadden langs geheel onafhankelijke weg ons Romeinse getallenschrift uitgevonden.
Geleidelijk aan ontdekte men echter dat het overbodig is om veel verschillende symbolen op te hebben. Zo ontstonden de plaats-waarde systemen, waarin de waarde van een cijfer wordt bepaald door de plaats die het inneemt in een rijtje cijfers. Onze hedendaagse manier om getallen te noteren, waarin de plaats van een cijfer bepaalt welke macht van tien het vertegenwoordigt, is het mooiste voorbeeld van zo'n plaats-waarde systeem. Hieruit zijn vervolgens de getallen ontstaan.
Een cijfer is dus een symbool dat een ( deel van een ) getal voorstelt. Het tientallige getallenstelsel kent tien cijfers: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9. Het binaire getallenstelsel kent slechts twee cijfers: 0 en 1.
Een getal is een symbolische weergave van een aantal of hoeveelheid. Heeft men een bepaalde verzameling getallen gedefinieerd, dan doet zich vaak de omstandigheid voor dat bepaalde bewerkingen (delen, worteltrekken e.d. ) binnen die verzameling niet overal uitgevoerd kunnen worden. Dit is vaak aanleiding om een nieuwe, omvattende verzameling objecten te definiëren die men weer getallen noemt.

Hoofdstuk 2: Hoe zijn de huidige getallen ontstaan?

We hebben ons systeem te danken aan het vroegmiddeleeuwse India. Het is daar in de vijfde eeuw na Christus ontstaan uit een ouder systeem, het zogenaamde Brahmi-systeem. Dit bestond al in de derde eeuw voor Christus. In die tijd stond de beroemde koning Ashoka daar aan het hoofd. In het Brahmi-systeem waren er al de cijfers 1 tot en met 9, maar nog geen nul. Voor '10' was er een apart teken, een cirkel met twee pootjes eraan. Voor '20' weer een ander teken, een cirkel met een streepje erin; weer een ander teken voor 30, enzovoort. Er waren speciale tekens voor 100 en voor 1000. Het getal 1111 zou men in het Brahmi-systeem schrijven als het teken voor 1000, gevolgd door het teken voor 100, gevolgd door het teken voor 10, en dan een 1. Met zo'n systeem kwam men niet erg ver, want men moest dan voor ieder getal een symbool gaan uitvinden.
Alleen in de sterrenkunde waren er toen grotere getallen nodig. In de vijfde of zesde eeuw na Christus is een onbekende Indiase sterrenkundige op het idee gekomen het Brahmi-systeem te wijzigen. Hij voerde een symbool voor 0 in, en het principe dat je de cijfers 1 tot en met 9 niet alleen voor eenheden, maar ook voor tientallen, honderdtallen enzovoort kunt gebruiken, zoals wij dat tegenwoordig gewend zijn. In plaats van het symbool voor tien, die cirkel met twee pootjes, komt er nu een één gevolgd door een nul.
In plaats van het speciale symbool voor twintig, de cirkel met het streepje erin, kon men nu schrijven: twee nul. Voor honderd kon men nu één-nul-nul schrijven, voor duizend één-nul-nul-nul, enzovoort. Men hoefde dan nooit meer nieuwe tekens uit te vinden maar konden de cijfers één tot en met negen en de nul steeds 'recyclen'. De 'nul' is dus een symbool om 'geen' aan te duiden.
Sinds in de negende eeuw het Arabisch-Islamitisch rijk uiteengevallen was, maakten Noord-Afrika en het islamitische gedeelte van Spanje niet langer deel uit van Bagdad. De betrekkingen tussen de verschillende Arabisch sprekende overheersers waren echter niet compleet. Dat was het gevolg van veel pelgrimstochten naar Mekka, van handelscontacten, van oorlog, van volksverhuizingen en van individuele reizigers.

Toen de beginselen van het rekenen eenmaal bekend waren geworden onder de Arabieren van het oosten, verspreidde het zich, dankzij de vele betrekkingen, snel over Zuid-Spanje en andere delen van het voormalige Arabische rijk. Ook de Arabieren leerden omgaan met grote getallen. Ze gebruikten de rekenmethode uit India.

Ook hun schrijfmethode leek op die van de Indiase methode. Maar in de loop der eeuwen ontwikkelde de tekens zich, en kreeg in veel landen een uiterlijk wat steeds meer ging afwijken van de oorspronkelijke vorm. De Arabieren uit het westen noemden ze de ‘stof-cijfers’, naar het fijne stof waarmee de rekenaars hun rekenplankjes bestrooide om er met een schrijfstift de cijfers in te trekken, en zo berekeningen uit te voeren.

Ondanks de verschillen tussen de tekens ( en de volkeren ) bleef de gelijkenis toch erg duidelijk. Omdat het Arabische volk in die tijd op wetenschappelijk niveau een niveau haalden die ons in die tijd ver te boven ging, spreken we nog steeds over Arabische cijfers en niet van Indiase cijfers.

De introductie van de Arabische cijfers in Europa ging niet van de een op de andere dag. Toen de Arabieren de Indiase manier van rekenen onder ogen kregen, zagen zij gelijk de superioriteit ervan in, en hebben het zo snel mogelijk overgenomen. De koppige Europeanen daarentegen waren zo gehecht aan hun eigen archaïsche systeem, dat zij de voordelen van het Arabische stelsel niet wilden inzien (Archaïsch: een stelsel is bedoelt om te tellen, niet om te rekenen).

Na de val van het Romeinse Rijk is het onderwijs in Europa heel lang erg primitief gebleven, tot het eind van de Middeleeuwen. De enkelen die bevoegd waren om tijd en geld aan school te besteden, leerden aanvankelijk alleen lezen en schrijven. Later werd hen ook grammatica, dialectiek, retoriek en soms muziektheorie bijgebracht. Vervolgens werden er cursussen sterrenkunde en meetkunde aan toegevoegd. Tegelijkertijd leerden zij tellen op hun vingers en getallen te noteren in Romeinse cijfers. Wat getallen betreft bleef het daarbij.

In die tijd lag de kunst van het rekenen aan alle schoolgangers niet binnen handbereik. De rekenaars waren een select gezelschap, specialisten die jarenlange studies over ingewikkeld materiaal hadden genoten. Zij werkten met een Romeinse rekentafel. Mensen die in die tijd konden rekenen kregen van de medemensen veel respect. Dat bewijst meteen hoe moeilijk rekenen in die tijd was. Iedere koopman bijvoorbeeld, had iemand nodig die gespecialiseerd was in getallen om een overzicht van zijn verkopen te laten maken.

In die tijd waren in Europa de Italianen het verst op rekenkundig gebied. Als men wilde leren optellen en aftrekken, voldeed een school in Frankrijk of Duitsland ook, maar als men wilde vermenigvuldigen, moest je toch echt naar Italië reizen. Zij hadden meer contact met de Arabieren, en specialiseerden zich al snel in ingewikkelde berekeningen. Dit is zo gebleven tot de achttiende eeuw.

De Europeanen hadden profijt van de Arabische wiskunde kunnen hebben in de tijd van de kruistochten, maar helaas is het pas veel later doorgekomen. Uiteindelijk kwam het toch in Europa door een Franse monnik, Gerbert d’Aurillac. Hij had veel liefde voor zijn studie. Al snel wist hij veel af van sterrenkunde en meetkunde, maar hij wilde meer. Daarom rees hij af naar Spanje om in de leer te gaan bij Arabische rekenmeesters. Toen hij terugkeerde naar Frankrijk beheerste hij de Arabische manier van rekenen. Tussen 972 en 982 verbleef hij in Reims, waar hij de leiding kreeg over een grote school. Zijn lessen hadden een grote invloed op de andere scholen, en wiskunde werd voor velen interessanter.

Jammer genoeg haalde Gerbert d’Aurillac alléén de Arabische cijfers naar Europa. Het invoeren van de nul en Indiase rekenmethoden hadden geen succes. Dit kwam omdat hij bij het invoeren daarvan iedere keer op heftige weerstand stuitte. De andere Europeanen konden niet zo makkelijk hun systeem opgeven. Dat systeem gebruikten ze immers al honderden jaren. Daarom werden de Arabische cijfers slechts als vervanging voor de Romeinse cijfers gebruikt. Het rekenen werd wel makkelijker gemaakt, maar het was nog lang niet zo efficiënt als dat het tegenwoordig is.

Tussen 1095 en 1270 waren er weer kruistochten. Ridders kwamen terug met nieuwe Arabische kennis die de ver boven hun eigen kennis ging. In deze tijd was ook de wederopbloei van de wetenschap. Geleerden trokken naar het zuiden om er ook meer van te leren. En ook zij kwamen enthousiast terug. De methodes die ze gezien hadden werkte veel efficiënter als de methodes die voorheen werden gebruikt. In 1202 stelde Leonardo van pisa, of Fibonacci, alle regels voor het rekenen met de Arabische cijfers vast. Dit stuk werd het slagschip voor alle algoritmeaanhangers en heeft een enorme invloed op de algebra gehad.

In de dertiende eeuw raakte alles in een stroomversnelling. De Arabische rekenmethodes begonnen het te winnen van de traditionele methodes met de rekentafel. Toch werd er nog fel weerstand geboden. De specialisten die nog werkten met de rekenmachine, of de pas uitgevonden abacus, wilde met alle geweld de complexiteit van het rekenen behouden, want zij zagen hun broodwinning in gevaar komen. Ook vonden zij dat de methodes tegen de heilige schriften van de kerk ingingen. De kerk ging zelfs zo ver om het gerucht te verspreiden dat de Arabische rekenmethodes door de duivel gemaakt moesten zijn. Anders kon het nooit zo gemakkelijk zijn.



Het gevecht tussen de methodes heeft tot diep in de achttiende eeuw geduurd. Zelfs toen werden berekeningen nog gecontroleerd met rekentafels. Toen de Franse revolutie uitbrak was het gedaan met de Abacisten. Het gebruik van de abacus of rekentafel werd op scholen vanaf toen verboden. Sinds die tijd heeft de wiskunde zich onbelemmerd kunnen ontwikkelen. Hun angstaanjagende vijand was verslagen.

Hoofdstuk 3: Hoe is het tientallig getallenstelsel ontstaan?
En hoe werkt het?

Toen eenmaal het abstracte van de getallen zich aan de mens had geopenbaard, nam deze uitvinding nog een keer zijn telwerktuigen bij de hand, maar nu werd er op een andere manier naar gekeken. De mens had door dat je met je verzameling stokjes of steentjes meer kon doen. Je kon ze vergelijken, om uit te maken wie de grootste kudde had binnen een dorp. Je kon ze combineren of juist niet, om je schapen en varkens uit elkaar te halen. Maar al snel was er een probleem. Om met grotere getallen te gaan werken moest de mens bergen steentjes heen en weer gaan slepen. Men kan niet oneindig nieuwe symbolen bedenken. De grote vraag was: hoe kon men, met gebruikmaking van zo min mogelijk symbolen, grote getallen aanduiden?

Vroeger paste herders in West-Afrika een slimme methode toe om hun schapen te tellen. Ze lieten de schapen een voor een langslopen. Bij ieder dier regen ze een schelp aan een witte wollen draad. Bij het tiende schaap haalde ze alle schelpen van de witte draad af, en regen ze er een aan een blauwe draad. Daarna gingen ze weer verder met schelpen aan de witte draad rijgen, tot het twintigste schaap, enzovoort.Bij tien schelpen aan de blauwe draad werd alles eraf gehaald en werd er een schelp aan een rode draad geregen.
Deze primitieve manier van tellen zou later de grondslag worden van ons tientallig getallenstelsel. De pakketjes van schapen die de schelpen moesten voorstellen, zijn nu de tientallen, honderdtallen, enzovoorts.

Het tientallig getallenstelsel word tegenwoordig veruit het meest gebruikt. Het zijn niet te veel getallen om te onthouden, en niet te weinig om enorme getallen te creëren. Het is inmiddels al 1500 jaar oud. Een andere naam voor het tientallig getallenstelsel is het decimale stelsel.

Waar komt het grondtal 10 nu eigenlijk vandaan? Het is eigenlijk heel simpel. Vroeger telden de mensen hun vingers. Een mens heeft 10 vingers. Daarom is ons grondtal 10. Dat is echt de enige reden, dat het getal 10 zo veel gebruikt word. Als de mens 12 vingers zou hebben gehad, zouden we waarschijnlijk nu in dozijnen tellen.

Je hebt praktische mensen en theoretische mensen. Praktische mensen zouden pleiten voor een grondtal wat door veel andere cijfers deelbaar is, en omdat het een even getal is, is het makkelijker te bevatten voor een mens.

Er zijn veel andere stelsels die wiskundig gezien beter zijn. In principe zou het kunnen dat we van stelsel veranderen. Het twaalfcijferige of achtcijferige getallenstelsel is voor onze hersenen even goed te bevatten. Het probleem is alleen dat het een eindeloze discussie zal gaan opleveren tussen experts op wiskundig gebied. Een theoretische persoon zou een heel ander getal willen. Hij zou een getal willen waarvan de breuken op een eenvoudige en ondubbelzinnige wijze kunnen worden opgeschreven. Maar het is vrijwel onmogelijk om nu nog over te stappen op een ander systeem. De 10 zit er zo ingebakken, zowel bij de mensen als in de sectoren waar veel met getallen wordt gewerkt, zoals de administratieve sector. We zouden ons nooit kunnen aanpassen aan een nieuw getallenstelsel.

Het tientallig getallenstelsel is dus het getallenstelsel waar wij in deze tijd mee rekenen. We kennen hieruit de cijfers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9. Komen we nu geen enkele stap verder dan de 9, dan zetten we er weer een 0 neer. Om echter aan te geven dat we nu een keer rond zijn geweest zetten we er het cijfer 1 voor: 10. Dan tellen we weer verder door het achterste cijfer weer te verhogen: 11, 12, 13 enzovoorts. En als we weer een keer rond zijn gegaan, dan verhogen we die eerst 1 naar 2: dat word dus 20. Als we nu negen keer rond zijn geweest dan gaat dat eerste cijfer ook op 0 en we zetten daar weer een 1 voor, je krijgt dan dus: 100. De 1 staat hier voor één tiental en de 0 geeft aan dat er geen losse eenheden zijn. 10 staat in het tientallig getallenstelsel dus voor een tiental.

Het aangeven van verschillende grootheden in het tientallig getallenstelsel is helemaal niet moeilijk. Een honderdtal geef je aan met: 102. Een tiental wordt aangeduid met: 101 . Het is dan dus logisch dat een eenheid gevormd wordt door: 100. Het getal dat je voor deze machten van tien zet, de getallen 0 t/m 9, bepalen hoeveel honderdtallen, tientallen en eenheden er zijn.

Neem bijvoorbeeld het getal 16.372,5428, dit getal wordt in het tientallig getallenstelsel weergegeven. Als je een getal als 16.372,5428 opschrijft, dan bedoel je daarmee het totaal van de getallen:
1 • 10.000 = 1 • 104 2 • 1 = 2 • 100 8 • 0,0001 = 8 • 10–4
6 • 1000 = 6 • 103 5 • 0,1 = 5 • 10–1
3 • 100 = 3 • 102 4 • 0,01 = 4 • 10–2
7 • 10 = 7 • 101 2 • 0,001 = 2 • 10–3
Je ziet dat elk cijfer in dit getal een macht van 10 voorstelt. De decimale komma scheidt de eenheden van de decimalen ( delen van eenheden ). De punten worden wel gebruikt ( maar ook vaak niet ) om cijfers in groepen van 3 te verdelen zodat het lezen van het getal gemakkelijker wordt. Omdat de plaats van een cijfer de waarde ervan bepaalt, noem je het tientallig getallenstelsel een positiestelsel.
Bij de naamgeving van getallen woorden als honderd, duizend, miljoen, miljard, maar ook miljoenste, miljardste, enzovoorts gebruikt. Deze lijst geeft hun betekenis en de afkortingen die er bij worden gebruikt:
naam factor voorvoegsel symbool
triljoen 1018 Exa E

biljard 1015 Peta P
biljoen 1012 Tera T
miljard 109 Giga G
miljoen 106 Mega M
duizend 1000 = 103 kilo k
honderd 100 = 102 hecto h
tien 10 deca da
eenheid 1
tiende 0,1 = 10–1 deci d
honderdste 0,01 = 10–2 centi c
duizendste 0,001 = 10–3 milli m
miljoenste 10–6 micro ?
miljardste 10–9 nano n
biljoenste 10–12 pico p
biljardste 10–15 femto f
triljoenste 10–18 atto a
Het grootste getal dat een naam heeft gekregen is 'googol': 1 googol = 10100.
Voor getallen die vanwege hun grootte met veel nullen worden geschreven gebruik je de wetenschappelijke notatie. Daarbij werk je met machten van tien. Een voorbeeld hiervan is:
• 125.300.000.000 = 1,253 • 100.000.000.000 = 1,523 • 1011
• 0,000.000.0479 = 4,79 • 0,000.000.01 = 4,79 • 10–8

Hoofdstuk 4: Hoe heeft de mens leren tellen?

Het is niet bekend wanneer, of waar, de eerste mensen begonnen met tellen. Natuurlijk zijn er wel schattingen, maar de mens kan het niet met zekerheid zeggen. Deze gebeurtenis is verloren gegaan in de prehistorie. Wat we wel zeker weten is dat er ooit een tijd is geweest dat de mens niet kon rekenen. Dit kan heel makkelijk bewezen worden, omdat er tot op de dag van vandaag nog steeds primitieve volkeren bestaan die niet weten wat een abstract getal inhoud. Neem bijvoorbeeld de Zoeloe's en de Pygmeeën in Afrika, en de Aboriginals van de Murray Eilanden. "Een", "twee" en "veel" zijn de enige numerieke grootheden die zij kennen. De slimste onder de stammen lukt het wel om drie en vier uit te drukken, als "een-twee" en "twee-twee", maar daar blijft het dan ook bij. Na de vier ontstaat onnauwkeurigheid en verwarring, omdat er veel verschillende woorden zijn voor "veel", zoals een massa, een hoop, verscheidene, enzovoort. Het is voor hen nog steeds onmogelijk een getal voor te stellen dat groter dan vier is.

Eigenlijk beschouwen deze primitieve volkeren het cijfer niet als iets abstracts. Het wordt waargenomen, zoals wij een kleur of een geur waarnemen. Ze zijn er zich niet van bewust dat vijf koeien en vijf paarden een gemeenschappelijke eigenschap vertonen, het feit dat ze allebei met zijn vijven zijn. Dit 'zien' van getallen word 'de directe waarneming van het getal genoemd'. Dit kan niet vergeleken worden met het vermogen tot abstract tellen, dat veel ingewikkelder is. Abstract tellen weerspiegelt de mate van intelligentie die de mens verworven heeft. Het waarnemen van getallen duidt ook op intelligentie, en onderscheid de primitieve volkeren nog steeds van het dierenrijk.

Ook de mens uit de vroegste eeuwen van deze geschiedenis, zeker niet begaafder dan die inboorlingen, zal niet in staat zijn geweest om de getallen op zich te begrijpen, en de mogelijkheid tot tellen zal zich beperkt hebben tot globale waarneming zoals die door mensen, dieren en voorwerpen werd ingenomen. Ook zij kenden toen alleen één, twee en veel. Één en twee zijn de eerste twee cijfers die voor een mens te bevatten waren. ‘ Één ’ was de mens zelf, de persoon. ‘ Twee ’ was te begrijpen door tegenstellingen zoals goed en kwaad, man en vrouw, leven en dood, echt en nep, enzovoorts. Twee betekende ook rivaliteit, conflict, tegenstelling en tweedeling. Dat dit de eerste twee begrijpelijke cijfers waren, is vaak bewezen. In sommige talen word nog steeds verschil gemaakt tussen singularis ( enkelvoud ), dualis ( tweevoud ) en pluralis
( meervoud ). Het getal drie werd door onze verre voorouders ook gebruikt, maar niet op de manier waarop wij hem kennen.
Drie stond bij verschillende volken voor ‘ meer dan een of twee ’. Zo zette de Egyptenaren drie streepjes onder een hiëroglyfe als ze wilden aanduiden dat het meer dan 1 of 2 moest voorstellen. In het Oud-Chinees werd een bos aangeduid door drie bomen te tekenen. Een menigte werd uitgebeeld met behulp van drie getekende mensen. Sinds het begin der tellingen is drie dus gebruikt als synoniem voor massa of veel, en dat is lange tijd het limiet voor de telling van de menselijke hersenen geweest.

Het begin van het tellen is ongetwijfeld het gevolg geweest van praktische problemen in het allerdaagse leven. De mensen, bijvoorbeeld, die schapen en geiten hoedden moesten er zeker van zijn dat ze aan het eind van de dag nog evenveel schapen en geiten hadden, als waarmee ze vertrokken waren. Degenen die gereedschappen of wapens opsloegen, of mensen die de voedselvoorraden beheerden, moesten kunnen nagaan of de hoeveelheid gereedschap of voedsel op peil waren. En in tijden van oorlog, was het noodzakelijk om te weten hoeveel soldaten een dorp tot zijn beschikking had. Ook handelaars moesten kunnen begroten welke hoeveelheid voedsel of andere koopwaar ze tegen welke hoeveelheid moesten ruilen.

De eerste mensen die telden waren zich er niet van bewust wat voor een grote ontdekking ze hadden gedaan. Het was heel simpel. Voor elk schaap wat in de ochtend uit de stal liep, kerfde de herder een streepje op een steen. Aan het einde van de dag zette hij een kras door een streepje voor elk schaap wat terug de stal in liep. Als alle streepjes na het laatste schaap een kras hadden, klopte het. Ondanks dat de mensen telden, snapte zij nog niet de abstracte waarden van het getal. Wat ze wel al zagen is dat wanneer ze aan de ene kant 10 schapen hadden, en aan de andere kant 20, dat de 20 er meer waren. Maar dat het er precies 2 keer zoveel waren werd weer te ingewikkeld.

Een mohammedaanse herder in het Midden Oosten telde zijn schapen door voor ieder schaap een woord van zijn gebed op te zeggen. Maar hij ging verder; bij het laatste schaap onthield hij het woord wat erbij hoorde. Dit was dus een soort van ‘ getallenstelsel ’. Dit was het begin van de bewustwording van de getallen.
De ontwikkeling van de bewustwording van getallen heeft zich natuurlijk ver uitgebreid. In deze tijd zijn er nog maar weinig mensen die niet kunnen tellen. Het tellen is niet meer uit de meeste mensen levens weg te denken. Tientallen jaren geleden leerde men het tellen nog met een telraam. Het verschuiven van de balletjes aan het raam maakten duidelijk hoeveel getallen je had. Zo werd optellen en aftrekken makkelijker gemaakt.

Tegenwoordig wordt wel veel gerekend met rekenmachines, deze nemen veel rekenwerk uit handen. Er zijn ook hele uitgebreide rekenmachines waar je bijvoorbeeld grafieken op kan tekenen, de grafische rekenmachine.

Maar simpele sommetjes worden toch nog vaak door middel van hoofdrekenen geleerd. Op de basisschool leer je de beginselen van het tellen, die je je hele leven gebruikt. Tegenwoordig wordt leren tellen ook leuk gemaakt. Vroeger was het al heel wat dat je een boek had die beschreef hoe je moest tellen. In deze tijd wordt er alles aan gedaan om het leren tellen leuk en aantrekkelijk te maken voor kinderen, bijvoorbeeld door boekjes die rekenen leuk maken door bekende figuren of door middel van computerspelletjes.

Hoofdstuk 5: Wat voor soorten getallen zijn er? En wat houden ze in?

De natuurlijke getallen zijn de getallen waarmee je hebt leren tellen: 1, 2, 3, 4, enzovoorts. Later ontdekte men dat ook de 0 een handig getal was. Vanaf dat moment hoorde ook de 0 bij de natuurlijke getallen. De verzameling van de natuurlijke getallen noteer je zo:

Als je aan de natuurlijke getallen de negatieve getallen –1, –2, –3, enzovoorts toevoegt krijg je alle gehele getallen. De natuurlijke getallen vormen een deel van de gehele getallen.
De verzameling van de gehele getallen noteer je zo:

Bij het delen ontdekte men dat niet alle delingen op een geheel getal uitkwamen. Er ontstaan bij delen vaak breuken die niet tot een geheel getal te herleiden zijn. Bijvoorbeeld:

Maar er zijn ook breuken die wel tot een geheel getal te herleiden zijn. Bijvoorbeeld:

Al deze breuken samen heten de rationale getallen.
Als je breuken omzet in een decimaal getal, zijn er twee mogelijkheden:
• het aantal decimalen is eindig
• in de decimalen gaat herhaling optreden
Bijvoorbeeld:

Alle rationale getallen hebben één van deze twee vormen.

De Oude Grieken ontdekten voor het eerst getallen die niet als breuk zijn te schrijven. Bekende voorbeelden zijn de getallen die lengtes voorstellen van de zijden van een vierkant met bijvoorbeeld oppervlakte 2. Dergelijke getallen heten tegenwoordig wortels. Een getal als is niet als een breuk te schrijven.
Het heet daarom een irrationaal getal. Het bewijs van de irrationaliteit van is wereldberoemd. Ook veel andere wortels zijn irrationaal.
Ze zijn alleen te benaderen door een decimaal getal. De rationale getallen en de irrationale getallen vormen samen de reële getallen.
De meeste mensen denken dat de reële getallen alle getallen zijn. De reële getallen zijn, intuïtief beschouwd, de getallen die op één-éénduidige wijze overeenkomen met punten op een rechte. Deze rechte wordt de getallenas genoemd. Reële getallen kunnen geschreven worden in de decimale schrijfwijze (bijvoorbeeld 1,43567815…), waarbij er oneindig veel cijfers na de komma mogen staan. Deze verzameling getallen kent echter beperkingen.Een eenvoudige vergelijking als x2 = –1 heeft geen reëel getal als oplossing! Om een dergelijke vergelijking toch te kunnen oplossen zijn de complexe getallen bedacht.
Er bestaat nog een grotere verzameling van getallen dan, namelijk de verzameling van de complexe getallen. Een complex getal is een getal dat uit twee delen bestaat: een reëel deel en een imaginair deel. Rafael Bombelli (1526-1572) wordt beschouwd als de ontdekker van de imaginaire getallen. Hij stelde ook de rekenregels op voor complexe getallen. Door de speciale rekenregels die ervoor gelden, zijn ze bijzonder nuttig voor onder meer het bestuderen golfverschijnselen. Een complex getal heeft de vorm z = x + iy, waarin x en y reële getallen zijn en

De oplossing van de vergelijking x2 = –1 is dan:
x = i of x = –i
En op deze manier hebben alle tweedegraads vergelijkingen opeens oplossingen. Hetzelfde geldt voor hogere graads vergelijkingen. Complexe getallen worden vaak voorgesteld door een pijl ( een vector ) vanuit de oorsprong van een x,y-assenstelsel. Er valt dan zowel algebraïsch mee te rekenen als een meetkundige voorstelling te maken van dat rekenwerk. Net zoals getallenparen getekend kunnen worden als punten in een vlak, kunnen complexe getallen makkelijk getekend worden in het zogenaamde complexe vlak. Hier heten de assen echter niet x en y voor respectievelijk horizontaal en verticaal, maar reëel en imaginair. De imaginaire as staat loodrecht op de reële as. Een complex getal is dus niets meer en niets minder dan een punt in een vlak.

Priemgetallen zijn getallen die alleen deelbaar zijn door 1 en door zichzelf. De eerste priemgetallen zijn gemakkelijk te vinden:
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, enzovoorts. Priemgetallen hebben de mens altijd gefascineerd. Kenmerken van priemgetallen zijn:
• Priemgetallen zijn heel moeilijk te vinden, zeker grote priemgetallen. Dat wil vooral zeggen dat het erg tijdrovend is om van een groot getal uit te zoeken of het een priemgetal is of niet. Tegenwoordig helpen computers bij het rekenwerk.
• Er zijn oneindig veel priemgetallen, maar naarmate je verder op de getallenlijn komt, wordt hun dichtheid kleiner.
• Er bestaan paren priemgetallen, bijvoorbeeld 11 en 13, 17 en 19, 29 en 31, 41 en 43.
• Elk geheel getal is een product van priemgetallen. Dat heet 'elk getal is in priemfactoren te ontbinden ', bijvoorbeeld: 24 = 2•2•2•3 = 23•3.
• De wiskundige Goldbach vermoedde dat elk even getal de som was van twee priemgetallen, bijvoorbeeld: 24 = 11 + 13, 36 = 17 + 19, enz. Er is nog geen tegenvoorbeeld gevonden, maar bewezen is dit 'vermoeden van Goldbach' nog niet!

• De Franse wiskundige Marin Mersenne zocht alle priemgetallen van de vorm 2n – 1, met n = 0,1,2,3,4,5,... Hij vond veel van die Mersenne-priemgetallen, maar kwam niet verder in zijn onderzoek dan n = 257. Het leek er op dat 2n – 1 een priemgetal is als n zelf priem is, maar in 1536 vond Hudalricus Regius dat dat niet waar is voor n = 11: 211 – 1 = 2047 = 23 • 89. Het blijkt nu dat het zelfs maar heel zelden is dat 2n – 1 een priemgetal is. Tot dusver zijn er slechts 39 van deze getallen gevonden en de grootste is momenteel 213.466.917 – 1, een getal van maar liefst 4053496 cijfers! Wel geldt andersom dat als 2n – 1 een priemgetal is, dat dan n ook een priemgetal moet zijn.
De studie van priemgetallen en het zoeken naar grote priemgetallen is de vorige eeuw erg belangrijk geworden. Dat heeft te maken met het feit dat bij het coderen (versleutelen) van geheime informatie vaak van priemgetallen gebruik wordt gemaakt. Daarover is op het Internet veel te vinden, want juist bij het verzenden van boodschappen via het Internet is codering heel erg belangrijk.

Perfecte getallen zijn getallen die gelijk zijn aan de som van hun delers (dus uitgezonderd het getal zelf). Een voorbeeld van een perfect getal is het getal 28. De delers van 28 zijn: 1, 2, 4, 7, en 14. Als je deze delers optelt krijg je: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. De eerste drie perfecte getallen zijn 6, 28 en 496.

Hoofdstuk 6: Waarom werkte het Romeinse getallenstelsel niet goed?

Het Romeinse getallenstelsel was een ‘akrofonisch’ stelsel. Dit betekent dat ze niet uit tekens bestonden, die ontworpen zijn om rekenkundige handelingen mogelijk te maken, maar uit afkortingen, bedoeld om telwoorden op te tekenen en te onthouden.

Op wiskundig vlak hebben de Romeinen niet bepaald een voortrekkersrol gespeeld. Hun getallenstelsel is waarschijnlijk ontstaan als een telsysteem voor herders, die op een kerfstok bijhielden of ze wel met al hun schapen terug thuis waren gekomen.

Later evolueerden de kerfstreepjes tot letters die uit het Romeinse alfabet werden overgenomen. Maar het bleef een primitief systeem. Dit is verwonderlijk als je bedenkt wat voor een hoog niveau de Romeinse beschaving bereikte.

Het maken van voor ons eenvoudige berekeningen als vermenigvuldigingen en delingen, was met romeinse getallen een hopeloze opgave. Het Romeinse systeem gebruikte het principe van de optelling. Ze hadden echter geen onderling verband tussen hun tekens. In plaats daarvan zette ze een aantal tekens naast elkaar, en de opsomming van de tekens was het getal.

I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000

CCCLXXXVI = 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 = 387

MMDCCXXVI = 1000 + 1000 + 500 + 100 + 100 + 10 + 10 + 5 + 1 = 2726

Omdat het rekenen zo lastig was, werd het alleen gebruikt voor notaties en berekeningen. En dat gebeurde met een 'abacus' of rekentafel.

Een abacus is een vorm van telraam. Hij bestaat uit een raamwerk met een aantal staven waarop boven een dwarsbalk twee, en eronder vijf kralen zitten.

Een getal wordt nu weergegeven door een aantal kralen in een kolom tegen de middenbalk te schuiven, waarbij de bovenste kralen voor 5 tellen en de onderste voor 1. Het getal 1 is dus een kraal aan de onderkant tegen de middenbalk, 5 een kraal aan de bovenkant tegen de middenbalk, en 6 een kraal van zowel de boven- als de onderkant tegen de middenbalk. Stellen we op deze manier 6 in en tellen er 6 bij op, dan doen we dat door nog een bovenkraal en nog een onderkraal tegen de middenbalk te schuiven. De resulterende som 12 wordt weergegeven door de twee 5-kralen weer weg te schuiven en in plaats daarvan op de kolom links daarvan een eenhedenkraal tegen de middenbalk te zetten, die dan 1 tiental aangeeft. Iedere kolom is een cijfer meer nauwkeurigheid. De grootte van de berekeningen kunnen worden uitgevoerd naar believen, en worden opgevoerd door het aantal kralenstaven te vergroten (door twee abacussen te gebruiken bijvoorbeeld). Een snelle schudbeweging kan worden gebruikt om het telraam op nul te zetten.

Ondanks dat bleef het moeilijk en lastig. Het systeem bleef in Europa nog tot in de Middeleeuwen algemeen in gebruik. Het is wel typisch om te zien, dat een volk wat zo groot is geworden en enorme technische vooruitgangen heeft geboekt, meer dan duizend jaar zo’n lastig en ingewikkeld systeem hebben gebruikt.
Ons getallenstelsel danken we aan de Arabieren, die het op hun beurt van de Indiërs hadden overgenomen. Een Spaans manuscript uit 976 is de oudste vermelding van het gebruik van de Indisch-Arabische cijfers in Europa. Via Spanje en Sicilië drong het nieuwe systeem rond de 13de eeuw door tot in West-Europa. Het Arabische systeem was veel logischer en eenvoudiger en het duurde dan ook niet lang of handelslieden, bankiers en andere mensen die veel moesten rekenen, schakelden over naar dit nieuwe getallenstelsel. De 'abacisten' moesten het afleggen tegen de 'algoristen', zij rekenden met in zand geschreven cijfers.

Romeinse getallen werden nog wel gebruikt voor het nummeren van de pagina's van een boek (wat we zelfs in deze tijd af en toe nog doen), of voor de notering van een datum. Op oude gebouwen bijvoorbeeld zie je nog Romeinse jaartallen, zodat men kan zien uit wel jaar het stamt. Een speciaal geval vormen chronogrammen. Vooral in de 17de en 18de eeuw was ook het gebruik van chronogrammen heel populair. In een chronogram werd het jaartal verwerkt in een zin, meestal in het Latijn, die iets over de gebeurtenis zelf zei. Om de jaartalwaarde van een chronogram te berekenen, moet je alle letters uit de zin, die een Romeins cijfer zijn, bij elkaar optellen.

Oorspronkelijk waren de Romeinse cijfers kerfstreepjes. Ze zijn dus niet gebaseerd op de beginletters van woorden, zoals sommigen denken. De latere Romeinen gebruikten geen aparte karakters voor de cijfers, maar leenden een aantal letters uit het gewone alfabet. Maar in een inscriptie van omstreeks 170 vóór Christus, gevonden in het Zuid-Italiaanse Lucania, zien we voor het getal '50' nog een naar beneden wijzend pijltje in plaats van de letter L.

De Romeinen gebruikten de volgende cijfers voor getallen:
M = 1000
D = 500
C = 100
L = 50
X = 10
V = 5 (waarbij je niet moet vergeten dat de V en U op dezelfde manier schreven - vooral in chronogrammen speelt dat een rol)
I = 1 (ook I en J schreven ze hetzelfde).
De Romeinen kenden alleen maar hoofdletters. Maar soms vind je - bijvoorbeeld bij een paginanummering - ook wel Romeinse getallen in kleine letters.
Het Romeinse systeem is ook een decimaalgetallenstelsel - dus met 10 als basisgetal - maar de plaats van het cijfer in het getal heeft niet dezelfde belangrijke betekenis als in ons moderne 'positiegetallenstelsel'.

Het Romeinse getallenstelsel is dus additief: de waarde van een Romeins getal vind je door alle cijfers bij elkaar op te tellen. Bijna per definitie geven ze dus ook alleen maar gehele, positieve waarden weer.
Om de noteringsvorm wat korter te maken, voegden ze later aan het systeem een subtractief element toe: als een kleinere waarde vóór een grotere staat, moet je de kleinere aftrekken. Zo betekent: 'IX': 10 - 1 = 9, 'IV': 5 - 1 = 4 en 'CM': 1000 - 100 = 900.

Alleen veelvouden van 4 en van 9 worden op die manier weergegeven. Bovendien geldt de beperking dat alleen de combinaties IV, IX, XL, XC, CD en CM zijn toegelaten. Tenminste, zo zou het moeten zijn. In de praktijk stel je toch wel eens vast dat van deze regel wordt afgeweken. Dat geldt ook voor de regel dat je een zelfde letter nooit meer dan drie keer na elkaar mag gebruiken. Het getal 4 moet je als ' IV ' noteren en niet als 'IIII'. De tweede noteringsvorm komt nochtans heel vaak voor. Wat begrijpelijk is: het is immers de oudste vorm, die door de nieuwere (IV) is verdrongen. Zeker waar het grotere getallen betrof bestonden er nogal wat afwijkende schrijfwijzen. Vier voorbeelden om dat te illustreren:

De eerste is een alternatieve schrijfwijze voor 1000 (duizend), de tweede voor 5000. De schrijfwijze voor 1000 is eigenlijk een stilering van een cirkel (= twee gespiegelde C's) met een verticale streep in het midden. Twee concentrische cirkels stonden dan voor 10.000 en drie voor 100.000. (theoretisch kun je zo nog grotere veelvouden van 1000 weergeven, maar in de praktijk gebeurde dat niet omdat de getalwaarde van een dergelijke notering niet goed meer in één oogopslag te lezen is). Halve cirkels (meer bepaald de rechterkant = een I met rechts daarvan één of meer C's in spiegelschrift) geven aan dat je het zo bekomen getal door twee moet delen. (Zo kun je ook de 'D' voor 500 beschouwen als een halve duizend in deze notering).
Het derde en het vierde getal hierboven stellen respectievelijk 12000 en 30.000.000 voor. Het horizontale streepje geeft aan dat je het getal eronder met 1000 moet vermenigvuldigen. Staat het getal in een niet gesloten rechthoek, dan moet je het met 100.000 vermenigvuldigen. Zelfs combinaties waren mogelijk: als je het derde getal hierboven vlak achter het vierde getal zou schrijven, krijg je de Romeinse notering voor 30.012.000. Dat een dergelijke schrijfwijze verwarring kan scheppen en aanleiding kan geven tot interpretatiefouten, spreekt vanzelf.
Op deze manier zou keizer Tiberius aan de latere keizer Galba ooit 500.000 in plaats van 50.000.000 sestertiën hebben uitbetaald omdat het bedrag in het legaat was aangeduid als
.
De streepjes aan de zijkanten waren zo kort dat Tiberius ze niet als verticale lijnen wilde zien, maar als begin- en eindpunt van de horizontale streep.

Alle volken die dit systeem hebben gebruikt zijn er vroeg of laat achter gekomen dat het Romeinse systeem een beperking had. Bij grote getallen kreeg je al snel hele grote cijfers. Men kon niet oneindig symbolen verzinnen voor steeds een extra nul. Dit was ook de reden dat het systeem op den duur niet goed meer functioneerde.

Hoofdstuk 7: Wat is er zo bijzonder aan het getal 0 en 'oneindig'?

De oude geometrie hanteert geen a-priori axioma's of aannames. Ze trachten de natuur metafysisch te benaderen en trachten door middel van symbolen daar gestalte aan te geven. Ze begonnen met het getal 1 in plaats van de moderne geometrie met het getal nul.
Het Brahmi-systeem, een oud systeem uit India, bestond uit cijfers 1 tot en met 9. Dit systeem kende nog geen 0. Voor 10 was er een apart cijfer, een cirkel met twee pootjes, en voor 20 was er weer een apart cijfer voor. Zo waren er ook speciale tekens voor 100 en 1000. Dit systeem is dus erg lastig voor grote getallen. Maar daar hadden ze in die tijd niet zo veel last van, want in het dagelijks leven in de oudheid en in de middeleeuwen waren de getallen vaak niet groter dan 10.000. Alleen in de sterrenkunde waren er grotere getallen nodig. In de 5de eeuw na Christus is een onbekende Indiase sterrenkundige op het idee gekomen om het Brahmi-systeem te wijzigen. Hij voerde een symbool voor 0 in. Nu kon je de cijfers 1 tot en met 9 ook voor tientallen, honderdtallen, duizendtallen etc. gebruiken. In plaats van het speciale symbool voor 10, wat een cirkel met twee pootjes was, komt er nu een 1 met een 0 erachter. Men hoefde nu dus nooit meer nieuwe tekens uit te vinden maar konden de cijfers 1 tot en met 9 en de 0 steeds opnieuw gebruiken.

De Griekse en Babylonische sterrenkundigen in de oudheid rekenden in een zestigtallig positiestelsel. Zij hadden al een symbool voor de nul. De Grieken schreven de getallen 1 tot en met 59 met de letters van hun alfabet. Zo was 1 alfa 2 beta, 10 iota en 20 kappa. Voor het getal 60 schreven zij 'alfa' gevolgd door een rondje. Dat rondje was een afkorting van het woord "ouden" wat 'niets' betekende. De Indiase sterrenkundigen moeten met dit systeem bekend geweest zijn. Logisch is dus dat de Indiase sterrenkundige de 'nul' hiervan heeft afgeleid. Waarschijnlijk vond hij een positiestelsel wel heel handig, maar het Griekse zestigtalligstelsel te ingewikkeld. Zo heeft hij er een tientalligstelsel gemaakt en heeft hij voor de cijfers 1 tot en met 9 het Brahmi-systeem gebruikt. Zo hoefde hij alleen nog maar een teken voor de 'nul' toe te voegen.

Het Indiase systeem verspreidde zich naar China en de Arabische wereld. Van daaruit heeft het de gehele wereld veroverd. De herkomst van ons getallenschrift en het belang van de nul daarin blijkt nog steeds uit ons woord "cijfer": dit is rechtstreeks afkomstig uit de Arabische benaming van de nul, "sifr", die op haar beurt weer een vertaling is van de Sanskrit-term "soenja" (nul, leegte).

Het getal nul heeft in de oudheid voor veel oplossingen gezorgd, maar ook voor problemen. Twee jaar geleden nog. Overal op de wereld vierde men op 1 januari 2000 het nieuwe millennium. Eigenlijk vierde men toen dat er 1999 jaar voorbij waren. Nog steeds blijken veel mensen het niet te snappen dat we pas in de 21ste eeuw op 1 januari 2001 het derde millennium in zijn gegaan. De 'nul' veroorzaakt nog steeds problemen!
Het getal 'nul' gebruiken we op twee manieren. Bij de ene manier is de 'nul' een getal om 'geen' aan te duiden, dat doen we ook in ons tientallig getallenstelsel. Het getal 216 is een heel ander getal dan het getal 2016. Bij de tweede manier gebruiken we de 'nul' is gewoon als 0, zoals in een telefoonnummer. Wat ten eerste bijzonder aan het getal 0 is, is dat je er niet door kan delen. Ieder getal gedeeld door 0 is oneindig. Wat ook opmerkelijk aan het getal 0 is, is dat als je 0 bij een getal optelt of aftrekt blijft het getal staan. Er verandert gewoon niets mee. Een getal tot de macht 0 is altijd 1. Dit is ook weer een typisch kenmerk van het getal 0. Tot slot is het bijzonder dat het getal 0 geen positief of negatief getal is. Er bestaan geen andere getallen waar deze kenmerken ook van toepassing op zijn!

Bij het begrip oneindig word er vaak gedacht aan oneindig groot en soms oneindig klein. Maar oneindig is eigenlijk een begrip wat alleen wiskundig bestaat. Want is het aantal mensen op aarde oneindig, of het aantal micro-organismen? Wat te denken van het heelal? Het heelal is naar alle waarschijnlijkheid uitdijend, wat impliceert dat zelfs het heelal niet oneindig is. Het is dus duidelijk dat je over oneindigheid praat het over verzamelingen hebt.

De begrippen ‘eindig’ en ‘oneindig’ zijn alleen van toepassing op datgene, waarbij van ontelbaarheid sprake is, dus van de onmogelijkheid om te kunnen worden gemeten of geteld. Voor wiskundigen is oneindigheid een uitdaging omdat zij altijd alles willen oplossen. Het is een grensbegrip, namelijk de limiet waartoe een bepaalde grootheid nadert als een andere onbeperkt aangroeit. Een ‘oneindig groot’ getal is in de wiskunde een veranderlijk getal dat steeds aangroeit. Het teken voor oneindig is: ?.

Oneindig is een begrip dat sinds de Grieken een belangrijk thema is geweest van wijsgerig denken. De wiskunde heeft eerst onder invloed van dit wijsgerig denken, maar heeft later helemaal zelfstandig de problemen van het oneindigheidsbegrip gesteld en opgelost. De wijsgeer Aristoteles (een leerling van Plato), van wie de ideeën tot diep in de middeleeuwen als voorbeeld werden genomen, had grote moeite met het begrip oneindig. Hij zei hierover: “ Zolang geen redelijke grootheid oneindig is, is het onmogelijk om elke vastgestelde verwante grootheid te overtreffen. Als dat mogelijk is zal er iets groters zijn dan de hemel ”.

Pas na de middeleeuwen durfden Galileo, Gauss en John Walles de ideeën van Aristoteles te weerspreken, wat hen veel kritiek opleverde. Wiskundigen hadden in het begin van de 20e eeuw de behoefte om toch het kental (machtigheid ) van de verzameling van de natuurlijke getallen te benoemen. Op het eerste gezicht leek het alsof er maar één soort oneindig was.
Maar aan het eind van de 19-de eeuw, om precies te zijn in 1873, ontdekte Georg Cantor dat er verschillende `graden ' van oneindig zijn.
Deze inzichten schokten in eerste instantie de wereld, maar later werd deze theorie algemeen aanvaard. Georg Cantor ontdekte dat niet alle oneindige verzamelingen zijn even groot, de een is nog groter dan de ander. Hij ontdekte daarmee een heel nieuw en fascinerend gebied dat de beroemde Duitse wiskundige David Hilbert `het paradijs van Cantor ' noemde. Cantor begon de machtigheid van deze 0?verzamelingen te omschrijven als aftelbaar oneindig. Hij kende er het symbool aan toe, uit te spreken als Alef-nul.

Het onderwerp oneindigheid is van groot belang voor de wiskunde. Cantor maakte onderscheid tussen aftelbare oneindigheid en overaftelbare oneindigheid. We zeggen dat een oneindige verzameling aftelbaar oneindig is als we de elementen kunnen " nummeren " met de natuurlijke getallen. In het geval van de verzameling der even getallen kan aan alle even getallen een rugnummer of index geven worden: 2 is het eerste getal, 4 het tweede, 6 het derde etc. Ofwel 1 wordt gekoppeld aan 2, 2 aan 4, 3 aan 6,.... n aan 2n, waarmee alle even getallen aan de natuurlijke getallen zijn gekoppeld. De conclusie luidt nu, dat de verzameling van de even getallen evenveel elementen heeft als de verzameling van de natuurlijke getallen. Overaftelbare oneindigheid heeft betrekking op de verzameling van de reële getallen. De verzameling van de reële getallen ( alle getallen met een willekeurige oneindige decimale ontwikkeling) is machtiger dan Alef-nul. Om dit aan te tonen wordt gekeken naar een deelverzameling van de verzameling van de reële getallen, namelijk de verzameling van alle punten op een lijnstuk van lengte 1. Cantor bewees op een geniale manier dat het aantal punten op deze lijn meer is dan het aantal natuurlijke getallen. Het bewijs is de geschiedenis in gegaan als het "diagonaal bewijs van Cantor".

Hoofdstuk 8: Waarom werken computers met een tweetallig getallenstelsel? En hoe werkt dat?

Bij computers denk je aan moderne apparaten van deze tijd en aan toekomstige ontwikkelingen. Toch hebben deze apparaten al een hele geschiedenis achter de rug waar velen zich niet van bewust zijn.

De eerste computers waren niet veel anders dan rekenmachines. De Thales rekenmachine uit 1910 zou men dus als een voorloper van de computer kunnen noemen. Het betreft een mechanische rekenmachine waar geen stroom bij aan te pas komt. Met de schuiven bovenin stel je een berekening in, door aan de slinger te draaien voer je de berekening uit waarna het mechaniek de uitkomst van de berekening toont.

Voor het digitale tijdperk waren er analoge computers. Deze zijn op een totaal andere techniek gebaseerd dan onze huidige digitale computers. Variabelen worden op analoge computers vertegenwoordigd door elektrische voltages, die in de meeste gevallen tussen de -10 en +10 volt liggen. De programma's (meestal berekeningen) worden doormiddel van verbindingen op de patchplaat aangegeven. Deze platen kunnen gewisseld worden zodat ieder programma niet iedere keer opnieuw ingeprikt hoeft te worden.

Papier is eeuwenlang het belangrijkste opslagmedium geweest om gegevens te bewaren. Dit werd in de tijd van de ponsbandcomputers ook nog gedaan. Een ponsband is niets anders dan een papieren strook waarin gaatjes worden geponst. Een ponsbandlezer kan deze ponsgaatjes weer terugvertalen naar tekst die bijvoorbeeld op een vel papier wordt gedrukt. Behalve teksten kan je ook volledige computerprogramma's op ponsbanden wegschrijven. Computers gekoppeld aan een ponsbandlezer konden deze programma's lezen en uitvoeren.
Vergelijkbaar met de ponsbanden zijn de ponskaarten. Op een kaart kunnen slechts 80 tekens worden weggeschreven. Voor een computerprogramma zijn dus al snel vele kaarten nodig. Een van de meest ernstige computerstoringen was dat iemand een bak met kaarten uit zijn handen liet vallen.

Eind jaren ‘70 kwamen de eerste " echte " bureaucomputers. In vergelijking met de bovenstaande apparaten waren de gebruiksmogelijkheden en het bedieningsgemak enorm. Het was een waanzinnige uitvinding met heel veel capaciteiten. Technische specificaties waren: een 9 monitor, BASIC als operating systeem. Een processor met een kloksnelheid van 1 megahertz en een ingebouwde taperecorder want de rol van de harde schijf werd hier nog vertolkt door een cassettebandje.

In 1981 bracht IBM zijn Personal Computer op de markt gebouwd rond de Intel 8088 processor (4,77 Mhz). Als besturingssysteem kon PC-Dos worden gedraaid, een besturingssysteem wat in opdracht van IBM door het bedrijfje Microsoft was ontwikkeld. De IBM PC zou de standaard worden voor vrijwel alle andere computermerken. Deze imiteerde de IBM dusdanig dat alle hard- en software volledig uitwisselbaar was met de IBM PC en andere daarop gebaseerde computers. IBM was hiermee de grondlegger van de generatie PC's die we nu nog steeds gebruiken.

Vanaf die tijd is de ontwikkeling van computers in een razend tempo doorgegaan. Steeds zijn er nieuwe, mooie en betere computers op de markt gebracht. De computer moet tegenwoordig steeds meer kunnen. Ook wordt de computer meer en meer uitgebreid met allerlei accessoires. Er bestaat zelf als een draagbare computer, de laptop! In deze tijd is de computer ook niet meer uit het dagelijkse leven weg te denken. De jeugd leert ook al vroeg met computers te werken, zodat ze op de hoogte blijven nieuwe uitvindingen en daar snel mee leren werken. Computers worden iedere dag op school, op het werk en thuis gebruikt. De computer neemt in deze tijd een hoop werk van de mens uit handen.

Computers kunnen iets nauwkeuriger omschreven worden dan digitaal, namelijk informatieverwerkende automaten. Het woord digitaal duidt op het gebruik van discrete getallen. Dit wordt gebruikt als basis van het rekenvermogen van de computers. Computers werken met een tweetallig getallenstelsel, ook wel binair getallenstelsel genoemd ( binair = tweetallig ). Dit getallenstelsel bevat slechts als rekeneenheden de getallen 0 en 1. Het lijkt niet logisch dat zo’n beperkt getallenstelsel voor de opbouw van computers is gekozen. De elektronische componenten waaruit computers bestaan kunnen zich in twee toestanden bevinden. In de ene toestand laat de elektronische componenten geen stroom door en in de andere toetstand wél. Deze twee toestanden kunnen heel goed worden gebruikt als representatie van de getallen 0 en 1. De binaire eenheden vormen de basis van de computer als rekenapparaat. Een bekend begrip bij computers is de bit ( = binary digit ). Een bit is de hoeveelheid informatie die kan worden vastgelegd door de keuze tussen een 0 en een 1. Het begrip bit is voor velen inmiddels vertrouwd geworden.
Alle informatie die zich in een computer bevindt, van welke aard dan ook, is in feite een zeer lange reeks getallen. In de praktijk wordt zelden direct met losse binaire getallen gewerkt. Dit komt omdat de computer werkt met groepen van binaire getallen. De meest gebruikte groepering is in reeksen van acht bits. Zo’n reeks van acht bits wordt een byte genoemd. Afhankelijk van het soort gegevens waarmee gewerkt wordt kunnen grotere eenheden, dat betekent combinaties van bytes, onderscheiden worden. In advertenties komen termen voor als ‘16 bits’ (= 2 bytes) computers ed. Hiermee wordt aangegeven hoeveel geheugenplaatsen er in een computer kunnen worden aangesproken. Een byte kan met zijn acht bits in totaal 256 (= 2^8) verschillende combinaties van nullen en enen voorstellen.

In ons tientallig getallenstelsel hebben we de getallen 1 t/m 9 tot onze beschikking. We kunnen met deze getallen tellen. Ben je bij het laatste getal dan neem je gewoon weer het eerste getal met een 0 erachter. Zo kan men eeuwig doorgaan met tellen. Onze computers hebben niet de getallen 1 t/m 9 tot hun beschikking, maar alléén de cijfers 0 en 1. Toch werkt de computer op dezelfde manier, maar dan met alleen de cijfers 0 en 1. Als men met het binaire getallenstelsel 2 wil aangeven, wordt er gewoon weer een 0 neergezet en om aan te geven dat ze een keer rond zijn geweest komt er een 1 voor te staan. Er staat dan 10, maar dit spreek je niet zo uit. Je spreekt het uit als een – nul. Gaat de computer nu verder naar drie, dan wordt die achterste 0 doorgedraaid naar 1 en er staat dan 11 (een – een). Om vervolgens vier te krijgen moet de achterste 1 weer op 0 gezet worden. De op- een- na achterste 1 moet ook worden doorgedraaid en komt eveneens op 0. En om dan aan te geven dat de computer ook bij de op- een – na laatste rond zijn geweest, komt er weer een 1 voor: 100 (een- nul – nul).
Met het binaire getallenstelsel kan men machtsverheffen. Voor de machten van twee kunnen alleen maar de getallen 0 of 1 komen te staan. v.b. 0 = 0 x 20 1 = 1 x 20.
binair decimaal binair decimaal binair decimaal binair decimaal
1 1 0 0 1000 8 10000 16
10 2 1 1 1001 9 10001 17
100 4 10 2 1010 10 10010 18
1000 8 11 3 1011 11 10011 19
10000 16 100 4 1100 12 10100 20
100000 32 101 5 1101 13
1000000 64 110 6 1110 14
10000000 128 111 7 1111 15
101011 - 1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 43
1001100 - 1 x 26 + 0 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 0 x 20 = 76
11110101 - 1 x 27 + 1 x 26 + 1 x 25 + 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 245
10101001101 - 1 x 210 + 0 x 29 + 1 x 28 + 0 x 27 + 1 x 26 + 0 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 =1357
10110,01 - 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 + 0 x 2-1 + 1 x 2-2 = 22,75
Deze antwoorden zijn samengevoegd d.m.v. de eerste tabel.
decimaal binair
16 10000
29 11101
128 10000000
153 10011001
Het omrekenen van binair naar decimaal gaat dus erg makkelijk. Van binair naar decimaal = machten uitrekenen en optellen, en van decimaal naar binair is de machten weg laten en de nullen en enen opschrijven
Vermenigvuldigen met binaire getallen gaat net zo als met decimale getallen. De voorbeelden hieronder zijn meteen de regels voor het vermenigvuldigen met binaire getallen.
1 x 0 = 1 x 0 = 0 = 0
binair?decimaal?binair
0 x 1 = 0 x 1 = 0 = 0
binair?decimaal?binair
0 x 0 = 0 x 0 = 0 = 0
binair?decimaal?binair
1 x 1 = 1 x 1 = 1 = 1
binair?decimaal?binair
Optellen met binaire getallen is eigenlijk het zelfde als met decimale getallen alleen moeten de volgende regels goed onthouden worden.
0 + 0 = 0 want 0 x 20 + 0 x 20 = 0
0 + 1 = 1 want 0 x 20 + 1 x 20 = 1
1 + 1 = 10 want 1 x 20 + 1 x 20 = 2 x 20 = 2 en 2 = 1 x 21 + 0 x 20 = 10

Twee voorbeelden van optellen en vermenigvuldigen met binaire getallen:

Voorbeeld 1 (vermenigvuldigen):
1101 x 101 =
Binair getallenstelsel: Tientallig getallenstelsel:
1101 13 101 x 5 x 1101 65 00000 110100 + 1000001
1000001 = 1 x 2^6 + 0 x 2^5 + 0 x 2^4 + 0 x 2^3+ 0 x 2^2 + 0 x 2^1 + 1 x 2^0 = 64 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 65.

Voorbeeld 2 (optellen):
1101 + 101 =
Binair getallenstelsel: Tientallig getallenstelsel:
1101 13 101 + 5 + 10010 18
10010 = 1 x 2^4 + 0 x 2^3 + 0 x 2^2 + 1 x 2^1 + 0 x 2^0 = 16 + 0 + 0 + 2 + 0 = 18.

Voor het opschrijven van getallen als honderd binair bestaan er conventies. Een ‘B’ achter binaire getallen bijvoorbeeld. Om aan te geven dat een getal tientallig in genoteerd, wordt er soms een ‘D’ achtergezet. Het decimale stelsel geldt doorgaans al default. Default betekent wat de computer denkt wat jij bedoelt als jij niet zegt wat je bedoelt. Voor hexadecimale getallen kan gekozen worden tussen een ‘H’ achter het getal en dan soms een ‘0’ ervoor: alleen een ‘$’ ervoor (ouderwets) of een ‘0x’ ervoor (tegenwoordig in ).

0 1

Hoofdstuk 9: Hoe zou de wereld eruit zien zonder getallen?

Als men nadenkt over cijfers dan blijken ze toch heel handig te zijn. Als we boodschappen gaan doen, als we telefoneren, bij het pinnen, als we in het verkeer zitten, bijna overal gebruikt men cijfers. Met cijfers kunnen allemaal wonderlijke dingen gedaan worden, zonder dat de meeste mensen daar bij stil staan.

Een leven zonder getallen is voor de mens niet (makkelijk) te bevatten. Geen getallen betekent geen besef van tijd, ruimte of afstand. Waarschijnlijk zouden we in deze tijd zonder getallen nog net zo primitief leven als onze verre voorouders. De het huidige niveau van de wereld zou een heel groot stuk dalen.

Een wereld met intelligente personen, maar zonder getallen is echter heel erg onrealistisch. Om dingen te kunnen bewerkstelligen heb je afspraken nodig. En voor afspraken heb je dikwijls getallen nodig. Als de mens opnieuw moest beginnen met alles ontdekken en uitvinden, zal de telling onherroepelijk weer als een van de eerste dingen ontdekt worden. Een telling is gewoon essentieel als je een zekere mate van orde in de chaos van het leven op aarde wilt creëren.

Antwoord op de hoofdvraag

Nadat alle deelvragen beantwoord zijn is het nu niet meer moeilijk om op de hoofdvraag een antwoord te geven. De hoofdvraag was: Waarom gebruiken wij het tientallig getallenstelsel?

Het antwoord op deze vraag blijkt heel simpel. Wij gebruiken het tientallig getallenstelsel omdat we tien vingers hebben. Puur toeval dus. Het grondtal 10 is een redelijk goed getal om mee te werken. Het gebruikt niet te veel symbolen, maar wel genoeg om niet al te grote getallen te krijgen. Als de mens acht vingers gehad zou hebben, hadden we nu waarschijnlijk een achttallig getallenstelsel gebruikt. Ons getallenstelsel is dus puur gebaseerd op het aantal vingers dat we hebben.

Conclusie

Cijfers zijn veel eerder uitgevonden dan letters. Al in prehistorische tijden kerfden mensen groeven in hout om aantallen vast te leggen, volgens een systeem dat veel lijkt op het tegenwoordige turven. Op den duur werden er veel symbolen ontwikkeld om iets duidelijk te maken. Geleidelijk aan ontdekte men echter dat het overbodig is om veel verschillende symbolen op te hebben. Zo ontstonden de plaats-waarde systemen, waarin de waarde van een cijfer wordt bepaald door de plaats die het inneemt in een rijtje cijfers. Een cijfer is dus een symbool dat een ( deel van een ) getal voorstelt. Een getal is een symbolische weergave van een aantal of hoeveelheid.
We hebben ons systeem te danken aan het vroegmiddeleeuwse India. Het is daar in de vijfde eeuw na Christus ontstaan uit een ouder systeem, het zogenaamde Brahmi-systeem. Alleen in de sterrenkunde waren er toen grotere getallen nodig. In de vijfde of zesde eeuw na Christus is een onbekende Indiase sterrenkundige op het idee gekomen het Brahmi-systeem te wijzigen. Er werden toen nieuwe symbolen ingevoerd. De betrekkingen tussen de verschillende Arabisch sprekende overheersers waren echter niet compleet. Dat was het gevolg van veel pelgrimstochten naar Mekka, van handelscontacten, van oorlog, van volksverhuizingen en van individuele reizigers. Doordat het Arabisch-Islamitisch rijk uiteenviel, gingen veel Arabieren naar andere delen van de wereld. Zo kwamen zij met het nieuwe systeem in contact. Toen de beginselen van het rekenen eenmaal bekend waren geworden onder de Arabieren van het oosten, verspreidde het zich, dankzij de vele betrekkingen, snel over Zuid-Spanje en andere delen van het voormalige Arabische rijk. Ook de Arabieren leerden omgaan met grote getallen. Ze gebruikten de rekenmethode uit India.
De introductie van de Arabische cijfers in Europa ging niet van de een op de andere dag. Toen de Arabieren de Indiase manier van rekenen onder ogen kregen, zagen zij gelijk de superioriteit ervan in, en hebben het zo snel mogelijk overgenomen. De koppige Europeanen daarentegen waren zo gehecht aan hun eigen archaïsche systeem, dat zij de voordelen van het Arabische stelsel niet wilden inzien. De Europeanen hadden profijt van de Arabische wiskunde kunnen hebben in de tijd van de kruistochten, maar helaas is het pas veel later doorgekomen. Uiteindelijk kwam het toch in Europa door een Franse monnik, Gerbert d’Aurillac. Hij had veel liefde voor zijn studie. Al snel wist hij veel af van sterrenkunde en meetkunde, maar hij wilde meer. Daarom rees hij af naar Spanje om in de leer te gaan bij Arabische rekenmeesters. Toen hij terugkeerde naar Frankrijk beheerste hij de Arabische manier van rekenen.

Toen eenmaal het abstracte van de getallen zich aan de mens had geopenbaard, nam deze uitvinding nog een keer zijn telwerktuigen bij de hand, maar nu werd er op een andere manier naar gekeken. Het tientallig getallenstelsel word tegenwoordig veruit het meest gebruikt. Het zijn niet te veel getallen om te onthouden, en niet te weinig om enorme getallen te creëren. Het grondtal 10 is gekozen omdat de mens tien vingers heeft. Overstappen op een ander getallenstelsel is vrijwel onmogelijk. De 10 zit er zo ingebakken, zowel bij de mensen als in de sectoren waar veel met getallen wordt gewerkt, zoals de administratieve sector. We zouden ons nooit kunnen aanpassen aan een nieuw getallenstelsel.
Het tientallig getallenstelsel bestaat uit de cijfers 0, 1, 2,3 ,4 ,5 ,6 ,7,8 en 9. Iedere keer kun je een stap verder, maar op den duur ben je bij het cijfer 9. Dan begin je weer met het cijfer 1 en je zet er een 0 achter. Zo kan je heel ver doortellen met het tientallig getallenstelsel.

Het is niet bekend wanneer, of waar, de eerste mensen begonnen met tellen. Natuurlijk zijn er wel schattingen, maar de mens kan het niet met zekerheid zeggen. Deze gebeurtenis is verloren gegaan in de prehistorie. Wat we wel zeker weten is dat er ooit een tijd is geweest dat de mens niet kon rekenen. Dit kan heel makkelijk bewezen worden, omdat er tot op de dag van vandaag nog steeds primitieve volkeren bestaan die niet weten wat een abstract getal inhoud. Eigenlijk beschouwen deze primitieve volkeren het cijfer niet als iets abstracts. Het wordt waargenomen, zoals wij een kleur of een geur waarnemen. Ze zijn er zich niet van bewust dat vijf koeien en vijf paarden een gemeenschappelijke eigenschap vertonen, het feit dat ze allebei met zijn vijven zijn. Ook de mens uit de vroegste eeuwen van deze geschiedenis, zeker niet begaafder dan die inboorlingen, zal niet in staat zijn geweest om de getallen op zich te begrijpen, en de mogelijkheid tot tellen zal zich beperkt hebben tot globale waarneming zoals die door mensen, dieren en voorwerpen werd ingenomen. Ook zij kenden toen alleen één, twee en veel. Één en twee zijn de eerste twee cijfers die voor een mens te bevatten waren. ‘ Één ’ was de mens zelf, de persoon. ‘ Twee ’ was te begrijpen door tegenstellingen zoals goed en kwaad, man en vrouw, leven en dood, echt en nep, enzovoorts. Twee betekende ook rivaliteit, conflict, tegenstelling en tweedeling. Dat dit de eerste twee begrijpelijke cijfers waren, is vaak bewezen.
Drie stond bij verschillende volken voor ‘ meer dan een of twee ’. Sinds het begin der tellingen is het getal drie gebruikt als synoniem voor massa of veel, en dat is lange tijd het limiet voor de telling van de menselijke hersenen geweest.
Het begin van het tellen is ongetwijfeld het gevolg geweest van praktische problemen in het allerdaagse leven. Mensen ondervonden vroeger het probleem dat ze niets konden bijhouden en registreren. De eerste mensen die telden waren zich er niet van bewust wat voor een grote ontdekking ze hadden gedaan. Het was heel simpel. De ontwikkeling van de bewustwording van getallen heeft zich natuurlijk ver uitgebreid. In deze tijd zijn er nog maar weinig mensen die niet kunnen tellen. Het tellen is niet meer uit de meeste mensen levens weg te denken. Op allerlei manieren werd het omgaan met getallen gestimuleerd. Dat gaat in deze tijd nog door. Het omgaan met getallen wordt in deze tijd steeds leuker gemaakt. Veel rekenwerk wordt in deze tijd overgenomen door rekenmachines.

De natuurlijke getallen zijn de getallen waarmee je hebt leren tellen: 1, 2, 3, 4, enzovoorts. Later ontdekte men dat ook de 0 een handig getal was. Vanaf dat moment hoorde ook de 0 bij de natuurlijke getallen. Als je aan de natuurlijke getallen de negatieve getallen –1, –2, –3, enzovoorts toevoegt krijg je alle gehele getallen. De natuurlijke getallen vormen een deel van de gehele getallen.
Bij het delen ontdekte men dat niet alle delingen op een geheel getal uitkwamen. Er ontstaan bij delen vaak breuken die niet tot een geheel getal te herleiden zijn. Maar er zijn ook breuken die wel tot een geheel getal te herleiden zijn. Al deze breuken samen heten de rationale getallen. Rationale getallen hebben twee vormen. Als je breuken omzet in een decimaal getal, is het aantal decimalen eindig of gaat er in de decimalen herhaling optreden. Bekende getallen zijn getallen voor lengtes.Vaak zijn er zijden van een vierkant met bijvoorbeeld oppervlakte 2. Dergelijke getallen heten tegenwoordig wortels. Een getal als is niet als een breuk te schrijven. Het heet daarom een irrationaal getal. Ook veel andere wortels zijn irrationaal. Ze zijn alleen te benaderen door een decimaal getal. De rationale getallen en de irrationale getallen vormen samen de reële getallen. Ook zijn er complexe getallen. Een complex getal is niets meer en niets minder dan een punt in een vlak. Priemgetallen zijn getallen die alleen deelbaar zijn door 1 en door zichzelf. De eerste priemgetallen zijn gemakkelijk te vinden: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, enzovoorts. Perfecte getallen zijn getallen die gelijk zijn aan de som van hun delers. Een voorbeeld van een perfect getal is het getal 28. De delers van 28 zijn: 1, 2, 4, 7, en 14. Als je deze delers optelt krijg je: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Op wiskundig vlak hebben de Romeinen niet bepaald een voortrekkersrol gespeeld. Hun getallenstelsel is waarschijnlijk ontstaan als een telsysteem voor herders, die op een kerfstok bijhielden of ze wel met al hun schapen terug thuis waren gekomen. Later evolueerden de kerfstreepjes tot letters die uit het romeinse alfabet werden overgenomen. Maar het bleef een primitief systeem. Dit is verwonderlijk als je bedenkt wat voor een hoog niveau de romeinse beschaving bereikte. Het maken van voor ons eenvoudige berekeningen als vermenigvuldigingen en delingen, was met romeinse getallen een hopeloze opgave.
Omdat het rekenen zo lastig was, werd het alleen gebruikt voor notaties en berekeningen. En dat gebeurde met een 'abacus' of rekentafel. Oorspronkelijk waren de Romeinse cijfers kerfstreepjes. Ze zijn dus niet gebaseerd op de beginletters van woorden. De latere Romeinen gebruikten geen aparte karakters voor de cijfers, maar leenden een aantal letters uit het gewone alfabet. De Romeinen gebruikten de volgende cijfers voor getallen:
M = 1000
D = 500
C = 100
L = 50
X = 10
V = 5
I = 1
De Romeinen kenden alleen maar hoofdletters
Het Romeinse getallenstelsel is dus additief: de waarde van een Romeins getal vind je door alle cijfers bij elkaar op te tellen. Bijna per definitie geven ze dus ook alleen maar gehele, positieve waarden weer.
Om de noteringsvorm wat korter te maken, voegden ze later aan het systeem een subtractief element toe: als een kleinere waarde vóór een grotere staat, moet je de kleinere aftrekken. Alle volken die dit systeem hebben gebruikt zijn er vroeg of laat achter gekomen dat het Romeinse systeem een beperking had. Dit was ook de reden dat het systeem op den duur niet goed meer functioneerde.
De Griekse en Babylonische sterrenkundigen in de oudheid rekenden in een zestigtallig positiestelsel. Zij hadden al een symbool voor de nul. De Grieken schreven de getallen 1 tot en met 59 met de letters van hun alfabet. De Indiase sterrenkundigen moeten met dit systeem bekend geweest zijn. Logisch is dus dat de Indiase sterrenkundige de ' nul ' hiervan heeft afgeleid. Zo heeft hij er een tientalligstelsel gemaakt en heeft hij voor de cijfers 1 tot en met 9 het Brahmi-systeem gebruikt. Zo hoefde hij alleen nog maar een teken voor de ' nul ' toe te voegen. Het Indiase systeem verspreidde zich naar China en de Arabische wereld. Van daaruit heeft het de gehele wereld veroverd. Het getal ' nul ' gebruiken we op twee manieren. Bij de ene manier is de ' nul ' een getal om ' geen ' aan te duiden, dat doen we ook in ons tientallig getallenstelsel. Bij de tweede manier gebruiken we de ' nul ' is gewoon als 0. Wat ten eerste bijzonder aan het getal 0 is, is dat je er niet door kan delen. Ieder getal gedeeld door 0 is oneindig. Wat ook opmerkelijk aan het getal 0 is, is dat als je 0 bij een getal optelt of aftrekt blijft het getal staan. Er verandert gewoon niets mee. Een getal tot de macht 0 is altijd 1. Tot slot is het bijzonder dat het getal 0 geen positief of negatief getal is.
Bij het begrip oneindig word er vaak gedacht aan oneindig groot en soms oneindig klein. Maar oneindig is eigenlijk een begrip wat alleen wiskundig bestaat. Oneindigheid gaat over verzamelingen. De begrippen ‘ eindig ’ en ‘ oneindig ’ zijn alleen van toepassing op datgene, waarbij van ontelbaarheid sprake is, dus van de onmogelijkheid om te kunnen worden gemeten of geteld. Het is een grensbegrip, namelijk de limiet waartoe een bepaalde grootheid nadert als een andere onbeperkt aangroeit. Het teken voor oneindig is: ?. Oneindig is een begrip dat sinds de Grieken een belangrijk thema is geweest van wijsgerig denken. De wiskunde heeft eerst onder invloed van dit wijsgerig denken, maar heeft later helemaal zelfstandig de problemen van het oneindigheidsbegrip gesteld en opgelost. Het onderwerp oneindigheid is van groot belang voor de wiskunde. Cantor maakte onderscheid tussen aftelbare oneindigheid en overaftelbare oneindigheid. De verzameling van de reële getallen alle getallen met een willekeurige oneindige decimale ontwikkeling) is machtiger dan Alef-nul. Om dit aan te tonen wordt gekeken naar een deel-verzameling van de verzameling van de reële getallen, namelijk de verzameling van alle punten op een lijnstuk van lengte 1. Cantor bewees op een geniale manier dat het aantal punten op deze lijn meer is dan het aantal natuurlijke getallen. Het bewijs is de geschiedenis in gegaan als het "diagonaal bewijs van Cantor".

Bij computers wordt er gedacht aan moderne apparaten van deze tijd. Computers hebben echter wel al een hele ontwikkeling achter de rug. De eerste computers waren niet veel anders dan rekenmachines. De Thales rekenmachine uit 1910 zou men dus als een voorloper van de computer kunnen noemen. Voor het digitale tijdperk waren er analoge computers. Variabelen worden op analoge computers vertegenwoordigd door elektrische voltages, die in de meeste gevallen tussen de -10 en +10 volt liggen. De programma's worden doormiddel van verbindingen op de patchplaat aangegeven. Deze platen kunnen gewisseld worden zodat ieder programma niet iedere keer opnieuw ingeprikt hoeft te worden. Papier is eeuwenlang het belangrijkste opslagmedium geweest om gegevens te bewaren. Dit werd in de tijd van de ponsbandcomputers ook nog gedaan. Een ponsband is niets anders dan een papieren strook waarin gaatjes worden geponst. Een ponsbandlezer kan deze ponsgaatjes weer terugvertalen naar tekst die bijvoorbeeld op een vel papier wordt gedrukt. Behalve teksten kan je ook volledige computerprogramma's op ponsbanden wegschrijven. Computers gekoppeld aan een ponsbandlezer konden deze programma's lezen en uitvoeren.
Vergelijkbaar met de ponsbanden zijn de ponskaarten. Op een kaart kunnen slechts 80 tekens worden weggeschreven. Eind jaren ‘70 kwamen de eerste "echte" bureaucomputers. Het bedieningsgemak was enorm. In 1981 bracht IBM zijn Personal Computer op de markt.
Als besturingssysteem kon PC-Dos worden gedraaid, een besturingssysteem wat in opdracht van IBM door het bedrijfje Microsoft was ontwikkeld. IBM was hiermee de grondlegger van de generatie PC's die we nu nog steeds gebruiken. Vanaf die tijd is de ontwikkeling van computers in een razend tempo doorgegaan. Steeds zijn er nieuwe, mooie en betere computers op de markt gebracht. Computers kunnen iets nauwkeuriger omschreven worden dan digitaal, namelijk informatieverwerkende automaten. Computers werken met een tweetallig getallenstelsel, ook wel binair getallenstelsel genoemd. Dit getallenstelsel bevat slechts als rekeneenheden de getallen 0 en 1. De elektronische componenten waaruit computers bestaan kunnen zich in twee toestanden bevinden. In de ene toestand laat de elektronische componenten geen stroom door en in de andere toetstand wél. Deze twee toestanden kunnen heel goed worden gebruikt als representatie van de getallen 0 en 1. De binaire eenheden vormen de basis van de computer als rekenapparaat. Alle informatie die zich in een computer bevindt, van welke aard dan ook, is in feite een zeer lange reeks getallen. In de praktijk wordt zelden direct met losse binaire getallen gewerkt. Dit komt omdat de computer werkt met groepen van binaire getallen. De meest gebruikte groepering is in reeksen van acht bits. Zo’n reeks van acht bits wordt een byte genoemd. Voor het opschrijven van getallen als honderd binair bestaan er conventies. Een ‘B’ achter binaire getallen bijvoorbeeld. Om aan te geven dat een getal tientallig in genoteerd, wordt er soms een ‘D’ achtergezet. Het decimale stelsel geldt doorgaans al default. Default betekent wat de computer denkt wat jij bedoelt als jij niet zegt wat je bedoelt. Voor hexadecimale getallen kan gekozen worden tussen een ‘H’ achter het getal en dan soms een ‘ 0 ’ ervoor: alleen een ‘$’ ervoor (ouderwets) of een ‘0x’ ervoor (tegenwoordig in).

Als men nadenkt over cijfers dan blijken ze toch heel handig te zijn. Met cijfers kunnen allemaal wonderlijke dingen gedaan worden, zonder dat de meeste mensen daar bij stil staan. Geen getallen betekent geen besef van tijd, ruimte of afstand. Waarschijnlijk zouden we in deze tijd zonder getallen nog net zo primitief leven als onze verre voorouders. De het huidige niveau van de wereld zou een heel groot stuk dalen. Een wereld met intelligente personen, maar zonder getallen is echter heel erg onrealistisch. Om dingen te kunnen bewerkstelligen heb je afspraken nodig. En voor afspraken heb je dikwijls getallen nodig. Als de mens opnieuw moest beginnen met alles ontdekken en uitvinden, zal de telling onherroepelijk weer als een van de eerste dingen ontdekt worden. Een telling is gewoon essentieel als je een zekere mate van orde in de chaos van het leven op aarde wilt creëren.

Bronnenlijst

De bronnen die ik voor dit profielwerkstuk heb gebruikt zijn:
- Encarta Encyclopedie Winkler Prins Editie 1998
- boek: De wereld van het getal van Georges Ifrah

- http://nl.wikipedia.org/wiki/Complex_getal
- http://www.dedigitalerevolutie.nl/redirect.asp?pagina=hardware/geschcom.htm
- http://proto.thinkquest.nl/~llb306/geschiedenis.html
- http://huiswerk.scholieren.com/werkstukken/print.php3?id=10961
- http://www.egoproject.nl/star/star1.htm
- http://www.wiskundeweb.nl/Wiskundegeschiedenis/index.html
- http://huiswerk.scholieren.com/werkstukken/print.php3?id=6187
- http://www.math.ruu.nl/people/hogend/Europa.html
- http://www.math.ruu.nl/people/hogend/cijfers.html
- http://nl.wikipedia.org/wiki/Re%EBel_getal
- http://www.ping.be/~ping0803/RomGetal/info.htm
- http://home-1.concepts.nl/~martyman/leraar.htm
- http://huiswerk.scholieren.com/werkstukken/print.php3?id=12334
- http://www.wiskunst.nl/Wiskunde2.htm
- http://www.wisfaq.nl
- http://www.efa.nl/onderwijs/2000/java/JeroenBob/HISTORY.HTM
- http://www.eur.nl/fw/staff/lokhorst/ifrah.html
- http://nl.wikipedia.org/wiki/Abacus
- http://www.home.zonnet.nl/mathematics/Geschiedenis/Getallen/home.htm
-
http://www.wiskundeweb.nl/Wiskundegeschiedenis/Onderdelen/RGgetal.html#Natuurlijk
- http://www.collegenet.nl/index_mainframe.php?mainframe=http%3A%2F%2Fwww.collegenet.nl%2Fstudiemateriaal%2Fverslagen.php%3Fverslag_id%3D3348%26site%3D

Logboek

Datum Activiteit Tijdsduur
2 januari 2004 Bepalen onderwerp. 30 min.
5 januari 2004 Zoeken informatie. 180 min
5 januari 2004 Deel- en hoofdvragen maken. 60 min.
10 januari 2004 De gevonden informatie doorlezen. 200 min.
28 januari 2004 Informatie per deelvraag ordenen. 60 min.
29 januari 2004 Begin gemaakt aan deelvraag 1. 120 min.
2 februari 2004 Afmaken deelvraag 1 en een begin gemaakt aan deelvraag 2. 120 min.
3 februari 2004 Informatie in bibliotheek gezocht. 90 min.
4 februari 2004 Verder gewerkt aan deelvraag 2 en nog informatie gezocht. 120 min.
5 februari 2004 Deelvraag 2 afgemaakt. 120 min.
15 februari 2004 Nieuw onderwerp bedenken en nieuwe hoofdvraag en deelvragen. 210 min.
16 februari 2004 Informatie zoeken. 270 min.
17 februari Informatie zoeken en alle informatie uitprinten. 240 min.
18 februari 2004 Informatie uit encyclopedieën zoeken en uitprinten. 120 min.
22 februari 2004 Hoofdstuk 2 gemaakt. 180 min.
23 februari 2004 Begonnen aan hoofdstuk 3 en naar de bibliotheek geweest. 240 min.
24 februari 2004 Informatie en plaatjes zoeken. Hoofdstuk 3 afgemaakt en begonnen aan hoofdstuk 4. 240 min.
25 februari 2004 Hoofdstuk 4 afgemaakt, aan hoofdstuk 5 begonnen en plaatjes gezocht. 330 min.
26 februari 2004
Hoofdstuk 5 afgemaakt, hoofdstuk 6 gemaakt en plaatjes in de hoofdstukken geplakt. 240 min.

27 februari 2004 Hoofdstuk 7 gemaakt. 240 min.

28 februari 2004 Informatie en plaatjes gezocht en hoofdstuk 8 begonnen. 330 min.

29 februari 2004 Hoofdstuk 8 afgemaakt. Informatie gezocht. Hoofdstuk 9 en hoofdstuk 1 gemaakt. Titelpagina, inhoudsopgave, inleiding, antwoord op hoofdvraag, conclusie en bronnenlijst gemaakt. Plaatjes in de hoofdstukken geplakt en de opmaak in orde gemaakt. En tot slot alles gecontroleerd en uitgeprint. 480 min.
1 maart 2004 Evalueren profielwerkstuk. 60 min.
12 maart 2004 Informatie zoeken. 60 min.
13 maart 2004 Informatie verwerkt. 60 min.
15 maart 2004 Uitleg gevraagd over rekenen met het binaire stelsel, laatste verbeteringen gedaan, alles nog eens gecontroleerd en het officiële profielwerkstuk uitgeprint. 60 min.

16 maart 2004 Het officiële profielwerkstuk in de mediatheek laten inbinden. 30 min.
Totaal: 4490 min. (75 uur)