Profielwerkstuk Natuurkunde Vliegtuigvleugel

Inhoudsopgave

INHOUDSOPGAVE
INFORMATIELIJST
LOGBOEK
HET EFFECT VAN LUCHT OP EEN VLEUGEL
§1 DE VIER KRACHTEN
§2 DE WET VAN BERNOULLI
§3 DE WETTEN VAN NEWTON
§4 HET COANDA EFFECT
§5 DE OMVANG VAN DE LIFTKRACHT
§6 LIFTKRACHT IN PRAKTIJK
§7 VLIEGVERMOGEN
§8 DE INVALSHOEK
§9 HET DRAAIEN OM DE ASSEN

Informatielijst

Internetadressen

http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/forces.html
http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/weight1.html
http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/lift1.html
http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/drag1.html
http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/thrust1.html
http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/ldrat.html
http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/exthrst.html
http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/presar.html
http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/ac.html
http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/momntm.html
http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/vel.html
http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/acg.html
http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/right2.html
http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/factord.html
http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/downwash.html
http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/bmotion.html
http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/objmotion.html
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/fluids/airfoil.html
http://users.skynet.be/vogelvlucht/Lift.html
http://142.26.194.131/aerodynamics1/Drag/default.htm
http://www.claymath.org/Millennium_Prize_Problems/Navier-Stokes_Equations/
http://wiskunde.hacom.nl/index.html?wiskunde/leerl/Oppsommen.html
http://www.paraborne.com/how_airplanes_fly_2.html
http://home.wanadoo.nl/edit.warmenhoven/archief/Week%20MMII%2002.txt

Boeken

Encyclopedie (Vliegtuigen)
Vliegtuigen
Parachutespringen (Theorie)
Microsoft Flight Simulator 2002 Pilot´s Handbook
Natuurkunde Kernboek N2 V1
Logboek

Informatie opzoeken en uitprinten 5
Informatie lezen en begrijpen 25
Typen 35
Formules ontwikkelen 5
Proeven bedenken 2
Proeven uitvoeren en vleugel maken 7
Foto´s bewerken en verwerken 7
Verslag controleren en verbeteren 6 +

Totaal 92 uur

Het effect van lucht op een vleugel

Niet elke dag maak je het mee, maar toch vragen heel veel mensen het zich af. Hoe vliegt een vliegtuig? Met de nodige informatie, gesprekken, onderzoeken en met behulp van kleinschalige experimenten die ik zelf heb uitgevoerd, ga ik hier een antwoord op proberen te geven.

Het vliegtuig:

- De krachten die op een vliegtuig werken, en hoe die werken
- Waarom de verklaring van Bernoulli niet volledig klopt
- Hoe blijft een vliegtuig in de lucht, in een rechte en horizontale vlucht (hoe worden bepaalde krachten overwonnen)
- Het Coanda Effect
- Waar hangt de kracht van de lift vanaf en de formule voor de kracht van lift
- Hoeveel lucht moeten verscheidene soorten vliegtuigen afwenden om in de lucht te blijven
- Hoe gedraagt de luchtweerstand zich tegenover het vliegtuig
- Wat voor invloed heeft de invalshoek van de vleugel op de lift (experiment)
- Hoe draait een vliegtuig om zijn assen en hoe gaat een vliegtuig de bocht om

§1 De vier krachten

Als een vliegtuig stil op de grond staat werken er slechts twee krachten op, namelijk de zwaartekracht (gericht naar het middelpunt van de aarde) en de normaalkracht, die precies tegengesteld gericht is aan de zwaartekracht. Bij dit voorbeeld werkt de zwaartekracht vanuit elk molecuul van het vliegtuig richting het middelpunt van de aarde. Omdat het rekenen hiermee erg lastig is wordt ook wel gezegd dat de gehele zwaartekracht van het vliegtuig vanuit het zwaartepunt naar het middelpunt van de aarde toe is gericht.

De eigenschappen van dit zwaartepunt zijn heel simpel. Stel dat men het vliegtuig op zou kunnen hangen aan het zwaartepunt, dan zou het vliegtuig precies in balans zijn. Zou men het vliegtuig naast het zwaartepunt ophangen, zou het vliegtuig omkantelen.

Er is natuurlijk ook een kracht tegengesteld aan de zwaartekracht. Omdat het vliegtuig niet in de lucht is maar op de grond, is deze tegengestelde kracht de normaalkracht. Deze kracht zal niet vanuit elk molecuul van het vliegtuig in tegengestelde richting van de zwaartekracht werken, maar zal slechts aangrijpen in de contactpunten van de wielen met de aarde, en vanuit daar in tegengestelde richting van de zwaartekracht werken, of simpel gezegd: naar boven. Omdat het vliegtuig verticaal gezien in geen van beide richtingen (naar het middelpunt van de aarde of daar vanaf) wordt versneld, betekent dit dat er geen resulterende kracht is, oftewel de zwaartekracht en de normaal kracht heffen elkaar op.

Dit is één van de twee krachtenkoppels die te vinden zijn bij een vliegtuig, het zij op de grond, het zij in de lucht. Om het vliegtuig een versnelling te geven zal een krachtenkoppel een resulterende kracht moeten produceren, oftewel, de ene kracht van het krachtenkoppel zal sterker moeten zijn dan zijn tegengestelde kracht, waardoor er een versnelling zal optreden volgens de tweede wet van Newton: a=F/m. Waarin F de resulterende kracht voorstelt.

Tot nu toe is er één krachtenkoppel beschreven die op het vliegtuig werkt. Alleen stond in dit voorbeeld het vliegtuig stil, wat natuurlijk een keer moet veranderen. Het eerste wat moet gebeuren is het vliegtuig een horizontale versnelling geven, om hem rijdend te krijgen. Omdat het eerst besproken krachtenkoppel slechts verticaal werken, zal het hier gaan om een ander krachtenkoppel. In dit geval is dat het stuwkracht/wrijvingskracht – koppel.

Bij het krachtenkoppel dat horizontaal werkt, werkt de stuwkracht meestal in de richting waar de piloot naartoe wilt rijden, en de wrijvingskracht werkt daar tegenin. De stuwkracht grijpt aan in slechts een paar punten, namelijk waar de motoren aan het vliegtuig vast zitten. De wrijvingskracht daarentegen, grijpt aan (als luchtwrijving) in elk punt van het vliegtuig dat bloot staat aan de tegemoetkomende (relatieve) wind. Naast luchtwrijving is er ook een gewone wrijvingskracht, die aangrijpt bij de wielen. Hier gaat het om wrijving tussen de wielen en de aarde, de wrijving opgewekt door eventuele remmen en wrijving in het draaimechanisme van het wiel.

De volgende stap die wordt genomen is het taxiën naar de startbaan, om vervolgens op te stijgen. Hiertoe wordt de stuwkracht tijdelijk groter gemaakt dan de wrijvingskracht waardoor het vliegtuig een tijdelijke versnelling krijgt. Als de gewenste snelheid is bereikt zal de stuwkracht gelijk zijn aan de wrijvingskracht, totdat het vliegtuig op de gewenste plaats staat, namelijk aan het begin van de startbaan. Dan zal de wrijvingskracht (door te remmen) tijdelijk groter zijn dan de stuwkracht waardoor het vliegtuig een versnelling achteruit krijgt, totdat deze stil staat.

De volgende stap zal een probleem vormen. Om op te stijgen zal het vliegtuig een sterkere opwaartse kracht moeten ondervinden dan de zwaartekracht die het vliegtuig richting het middelpunt van de aarde trekt. Dit moet niet alleen gelden voor het moment dat het vliegtuig op moet stijgen, maar telkens voor als het vliegtuig moet stijgen, het zij op de grond, het zij in de lucht. Omdat de normaalkracht nooit groter is dan de zwaartekracht, en daarbij ook alleen op te wekken is op de grond, zal deze kracht het vliegtuig nooit een verticale versnelling weg van het middelpunt van de aarde kunnen geven. Er moet in deze situatie dus een andere kracht spelen, namelijk lift.

Voordat een vliegtuig opstijgt moet deze eerst een hoge snelheid bereiken (de vereiste snelheid is afhankelijk van het gewicht van het vliegtuig en de vleugels). Waarom het vliegtuig een hogere snelheid moet bereiken wordt later uitvoeriger besproken. Als deze vereiste snelheid is bereikt zal de liftkracht (tegengesteld gericht aan de zwaartekracht) de functie van de normaalkracht langzaam gaan overnemen, tot het punt dat de liftkracht gelijk is aan de zwaartekracht. Als dan de liftkracht een klein beetje groter wordt zal het vliegtuig in verticale richting (de richting waarin de liftkracht is gericht) worden versneld. Als het vliegtuig vervolgens de gewenste verticale snelheid heeft bereikt zal de liftkracht weer gelijk worden gesteld aan de zwaartekracht, totdat de gewenste hoogte is bereikt. Dan zal de liftkracht minder worden dan de zwaartekracht waardoor het vliegtuig naar het middelpunt van de aarde wordt versneld, totdat het vliegtuig een verticale snelheid van 0 ms-1 heeft bereikt. Dan zal de liftkracht weer gelijk worden gesteld aan de zwaartekracht, waardoor er geen resulterende kracht meer is, dus ook geen versnelling meer (hoe de liftkracht wordt veranderd zal later worden besproken). Oftewel, het vliegtuig blijft eenparig rechtlijnig doorvliegen. Bij het dalen zal het vliegtuig dit proces precies andersom moeten doorlopen.

Zover het opstijgen, het stijgen in de lucht en het dalen. Als het vliegtuig sneller of langzamer moet gaan vliegen zal het eerst besproken krachtenkoppel een resulterende kracht moeten produceren. Bij dit krachtenkoppel komt veel minder kijken dan bij het zojuist besproken koppel. Als een vliegtuig bijvoorbeeld sneller moet gaan vliegen kan de stuwkracht worden verhoogd door ‘meer gas te geven’. De wrijvingskracht (in de lucht uitsluitend door luchtwrijving veroorzaakt) zal dan samen met de snelheid van het vliegtuig toenemen totdat de wrijvingskracht even groot is geworden als de stuwkracht. Op dit moment zal de snelheid van het vliegtuig gelijk worden en blijven zolang het vliegtuig rechtdoor blijft vliegen en de stuwkracht niet wordt veranderd. Als het vliegtuig af moet remmen moet de stuwkracht worden verminderd door ‘gas terug te nemen’ hierdoor krijgt het vliegtuig een resulterende kracht in de tegenovergestelde richting van het vliegen waardoor deze een negatieve versnelling ondervindt. Wanneer de snelheid van het vliegtuig lager wordt, zal de wrijvingskracht ook afnemen. Net zoals bij het versnellen zal de wrijvingskracht geleidelijk even groot worden (dit omdat als het vliegtuig steeds langzamer vliegt zal het ook steeds minder wrijving ondervinden) waardoor het vliegtuig rustig de nieuwe snelheid aanneemt.

Als een vliegtuig rechtdoor vliegt met constante snelheid en niet van hoogte verandert betekent het dat alle vier de krachtkoppels een resultante kracht van 0 N hebben. Oftewel dat de stuwkracht gelijk is aan de wrijvingskracht, en de liftkracht gelijk is aan de zwaartekracht. Dit is vaak niet precies het geval. Als bijvoorbeeld de liftkracht niet aangrijpt in het zwaartepunt (wat vaak niet precies het geval is) zal de liftkracht een moment creëren waardoor het vliegtuig nijgt te draaien. Om dit tegen te gaan wordt dit in de cockpit gecorrigeerd. Het zelfde geld voor het stuwkracht/wrijvingskracht- koppel. De stuwkracht grijpt in een modern straalvliegtuig bijvoorbeeld aan in de motoren, onder het zwaartepunt. Als de gemeenschappelijke wrijvingskracht boven het zwaartepunt aangrijpt zal dezelfde draaibeweging als in het bovenste voorbeeld op de zelfde manier worden gecorrigeerd. Grijpt deze onder het zwaartepunt aan, dan zal de krachtverhouding tussen deze twee krachten zodanig moeten zijn verdeeld dat het resulterende moment nul is en er dus geen draaiing zal optreden.

Schematisch kun je de situatie zo weergeven. De aangrijppunten van de krachten en de lengte van de pijlen zijn schematisch.

§2 De wet van Bernoulli

Als het vliegtuig op de grond staat is de enige opwaartse kracht de normaalkracht. Tot nu toe is dit natuurlijk geen probleem. Pas als het vliegtuig op moet stijgen moet er een andere opwaartse kracht aan te pas komen, omdat de grond geen normaalkracht kan bieden boven de grond. Deze andere opwaartse kracht wordt lift genoemd.

De bekendste vorm van het lift principe is die van Bernoulli. Als je aan een willekeurig persoon zou vragen hoe een vliegtuig vliegt, zal deze in de meeste gevallen het Bernoulli verhaal ophangen. Niet alleen de meeste mensen weten alleen van deze theorie van lift af, het wordt ook nog eens in de meeste schoolboeken, vlieginstructieboeken en vliegopleidingen gebruikt. De theorie luidt als volgt. Omdat de bovenkant van een vleugel langer is dan de onderkant (door aan de bovenkant een soort ‘bobbel’ erin te verwerken), zal een luchtmolecuul die bovenlangs gaat dus een langere weg moeten afleggen dan één die onderlangs gaat. Omdat de moleculen op het eind van de vleugel weer precies samen moeten komen, zal het molecuul dat bovenlangs gaat een hogere gemiddelde snelheid moeten hebben dan het molecuul dat onderlangs gaat. Hierdoor zal er boven de vleugel een lagere druk ontstaan dan onder de vleugel volgens de formule van Bernoulli:

p1 + ½ ρ v12 = p2 + ½ ρ v22

In deze formule stelt p1 de statische druk voor die boven de vleugel heerst, en p2 de statische druk onder de vleugel. ½ ρ v2 stelt de dynamische druk voor. Aangezien de twee moleculen die door de vleugel gescheiden werden oorspronkelijk in precies dezelfde situatie verkeerde (toen ze nog geen effect hadden ondervonden van de vleugel) en dus de bovenstaande formule zeker gold, zal er dus geen drukverschil optreden tussen deze twee moleculen. Als de moleculen door de vleugel gescheiden worden, zal het molecuul dat bovenlangs gaat een hogere snelheid moeten krijgen dan de onderste, om weer samen te komen bij de onderste aan het eind van de vleugel. Aan de hand van de bovenstaande formule kan men zeggen dat het linker deel geldt voor het luchtmolecuul dat bovenlangs gaat, en het rechter deel voor het molecuul dat onderlangs gaat. Aangezien het molecuul dat bovenlangs gaat sneller gaat (dus de term ½ ρ v12 wordt groter) zal de term p1 kleiner moeten worden om gelijk te blijven aan het rechter deel van de vergelijking. Het rechter deel van de vergelijking blijft hierin namelijk hetzelfde als in de situatie waar beide moleculen nog geen invloed van de vleugel hadden ondervonden. Oftewel p2 is gelijk gebleven terwijl p1 kleiner is geworden. Dit heeft tot gevolg dat er een onderdruk ontstaat boven de vleugel, wat tot gevolg heeft dat de vleugel als het ware de lucht in wordt gezogen met kracht F volgens de formule:

F = A × (p2 – p1)

De kracht die wordt geproduceerd door het drukverschil is gelijk aan de oppervlakte waarop dat drukverschil heerst maal het drukverschil in Nm-2.
Hoewel dit verhaal heel mooi en geloofwaardig klinkt zitten er toch een paar haken en ogen aan.

Men ziet ten eerste bij het opstijgen van een vliegtuig dat het vliegtuig een andere stand in neemt, oftewel de invalshoek van de vleugel verandert bij het opstijgen. Bij het opstijgen is dit ook inderdaad nodig om de vereiste lift te verkrijgen om het gewicht van het vliegtuig van de grond te krijgen. Er treedt in de wet van Bernoulli geen enkel verschil op als de invalshoek wordt veranderd. Het verschil in afgelegde weg tussen de twee moleculen blijft even groot als bij het vliegen met een kleinere invalshoek, dus het drukverschil zal dan ook hetzelfde blijven. Hieruit volgt dat de opwaartse kracht F ook gelijk blijft (volgens F = A × (p2 – p1) ) want de oppervlakte van de vleugel verandert natuurlijk ook niet. Oftewel, hoe je de invalshoek ook verandert, de liftkracht zal volgens Bernoulli niet veranderen. Men zou kunnen zeggen dat zodra het vliegtuig een andere invalshoek krijgt, zal de voortstuwing ook een andere invalshoek krijgen, waardoor de stuwkracht een horizontale- en een verticale component krijgt. Deze verticale component (die in dit geval dan omhoog gericht zou zijn) zou dan verantwoordelijk zijn voor de vereiste lift. In dit voorbeeld draagt de verticale component ook inderdaad bij aan de vereiste liftkracht, maar als de motor af zou staan zou het vliegtuig ook een verticale versnelling ondervinden. Er is hier dus duidelijk iets anders aan de hand.

Een ander argument voor het afkeuren van de Bernoulli benadering zijn twee verschijnselen bij een vliegshow. Naast de wat grotere, zwaardere vliegtuigen die bijvoorbeeld militair worden ingezet zijn er ook de acrobatische vliegtuigen. Het doel van deze vliegtuigen is niet om alleen rechtuit te vliegen, maar om allerlei bochtjes en loopings te maken. Om het vliegtuig beter te laten presteren hebben ze de vleugels symmetrisch gemaakt. Met symmetrische vleugels zal het luchtmolecuul dat bovenlangs gaat geen langere weg afleggen dan het molecuul dat onderlangs gaat. Hier kan men dus Bernoulli niet toepassen. Dit is weer een argument om te bewijzen dat Bernoulli niet volledig klopt. Als laatste kan je nog kijken naar het op de kop vliegen van een vliegtuig. Volgens Bernoulli zou het vliegtuig dan met een ongelooflijke vaart op de aarde afkomen. Dit omdat ten eerste de zwaartekracht het vliegtuig naar beneden trekt, en daarnaast ook nog eens de lift, die dan natuurlijk omgekeerd werkt. Hierdoor zal volgens Bernoulli het vliegtuig in omgekeerde vlucht twee maal zo snel naar beneden komen als wanneer deze gewoon zou vallen. Dit klopt natuurlijk niet met de werkelijkheid, want een vliegtuig kan wel gewoon op de kop vliegen.

Naast de bovengenoemde voorbeelden zijn er ook nog een paar minder overtuigende, maar wel geldige argumenten om de Bernoulli theorie te ontkrachten. Bij elk vliegtuig wordt de stuwkracht geproduceerd door middel van voortstuwing in de vorm van een propeller. Er zijn de gewone propellers en de straalmotoren. Als je achter zo een aandrijving zou gaan staan voel je een sterke wind. Deze wind wordt bij de propeller veroorzaakt door de propellerbladen, die precies dezelfde vorm hebben als een vleugel. Maar als je naar een plaatje kijkt in een doorsnee boek die lift verklaart door middel van Bernoulli krijg je dit plaatje te zien.

Volgens dit plaatje gaat de lucht na het verlaten van de vleugel rechtdoor, in precies dezelfde richting en op dezelfde hoogte als hoe het aankwam.
Dit plaatje kan je vergelijken met het bovenaanzicht van een propeller (een propeller is immers een draaiende ‘vleugel’), waarbij alleen de bovenste propeller te zien is die in deze situatie precies naar boven wijst. In dit plaatje zou het vliegtuig dan aan de onderkant van de propeller vast zitten, en dus naar boven wijzen. Volgens dit plaatje zou er dan geen lucht naar achteren worden gedrukt, maar gewoon als het ware stil blijven staan rondom de propeller. In het echt is dit natuurlijk niet het geval.
Ditzelfde voorbeeld kan men zien bij het opstijgen van een helikopter. Er wordt een massa aan lucht naar beneden geduwd waardoor de helikopter opstijgt. De rotorbladen van een helikopter zijn hetzelfde als vleugels, en dus ook als een vliegtuig propeller. Hetzelfde plaatje als op de vorige pagina zou dus moeten gelden voor de helikopter. Dit is natuurlijk weer niet het geval.

Als deze verschijnselen onmogelijk zijn te verklaren met de wet van Bernoulli, hoe dan wel?

§3 De wetten van Newton

Een steeds meer opkomende theorie van liftkracht de laatste tijd is de verklaring door middel van de wetten van Newton. Niet alleen is deze verklaring intuïtief makkelijker voor te stellen, ook zullen alle bovengenoemde aspecten van het vliegen die onmogelijk zijn uit te leggen aan de hand van de Bernoulli theorie, makkelijk te verklaren zijn aan de hand van deze nieuwe theorie. Deze theorie berust op één punt op het Bernoulli principe, maar maakt verder volledig gebruik van de drie wetten van Newton om de liftkracht van een vleugel te verklaren.

Wat waarschijnlijk bij veel mensen als eerst opkomt na het horen van de Bernoulli theorie om het verschijnsel lift te verklaren is dat het een beetje onwaarschijnlijk ‘aanvoelt’. Dat zo een dunne vleugel een voldoende groot drukverschil veroorzaakt dat het vliegtuig de lucht in wordt gezogen. De vleugel zal inderdaad wel een onderdruk veroorzaken boven de vleugel, maar deze onderdruk is vele malen te klein om het vliegtuig te tillen. Daarom moet dit idee ook losgelaten worden. Het belangrijkste argument is waarschijnlijk de derde wet van Newton:
Elke kracht heeft een even grote en tegengesteld gerichte reactiekracht als gevolg.
Of in formule

F = -F

Bij een vleugel is er volgens het Bernoulli principe wel een lift, maar is nergens een reactiekracht te bekennen. Dit kan nooit kloppen.

Hier is ook een argument tegenin te brengen. Neem bijvoorbeeld twee grote schepen die naast elkaar varen op zee. Beide schepen zijn even groot en symmetrisch. Als ze maar lang genoeg varen worden ze uiteindelijk naar elkaar toe gezogen volgens de wet van Bernoulli. Men zou kunnen zeggen dat je de schepen nu als vleugels zou beschouwen en dat dit niet in een horizontaal vlak plaats vindt, maar in een verticaal vlak. Dan zou je de onderste vleugel kunnen zien als degene die omhoog wordt gezogen en de bovenste die naar beneden wordt gezogen. Als je nou de bovenste vleugel weg zou halen, dan zou je toch een perfecte vleugel overhebben, die zichzelf als het ware de lucht inzuigt? Het antwoord is nee. Bij de twee schepen is de kracht die werk op het ene schip de reactiekracht van de kracht die op het andere schip werkt. Deze krachten worden opgewekt doordat er tussen de twee schepen een versmalling is (door de vorm van de schepen). Als je er één weg zou halen kan er geen reactiekracht meer optreden omdat er geen versmalling is en blijft het schip dus rechtdoor varen. Als men in de lucht met het voorbeeld van de vleugels niet twee vleugels neemt als de twee lichamen die naar elkaar toe worden gezogen, maar één vleugel, zal er dus ook geen versmalling zijn en dus ook geen lift.

Wat het geval is bij lift is dat de lift geen reactiekracht opwekt, maar het is een reactiekracht. Volgens figuur 2 gaat de lucht na het verlaten van de vleugel gewoon rechtdoor. Volgens de eerste wet van Newton werkt er geen netto kracht op (de lucht gaat aan de voorkant evenveel naar boven als aan de achterkant naar beneden) en zal er dus geen reactiekracht optreden en dit heeft als gevolg dat er geen lift kan zijn.

Er moet dus een kracht ergens op worden uitgeoefend wat als reactie een liftkracht opwekt. De goeie versie van figuur 2 ziet er als volgt uit.

Bij figuur 3 is duidelijk te zien dat de lucht een netto verplaatsing omlaag heeft ondergaan. Volgens de eerste wet van Newton betekent dit dat er een kracht op heeft gewerkt (een lichaam in rust of een lichaam die een eenparig rechlijnige beweging uitvoert zal in rust blijven of een eenparig rechlijnige beweging blijven uitvoeren mits er een resulterende kracht op werkt). Het enige voorwerp dat er een kracht op heeft uit kunnen oefenen is de vleugel. Kortom, de vleugel heeft een kracht uitgeoefend op de lucht waardoor dit een neerwaartse versnelling ondervond (volgens de tweede wet van Newton a=F/m, oftewel de versnelling is gelijk aan de uitgeoefende kracht op de lucht gedeeld door de massa van de lucht waarop de kracht is uitgeoefend. De formule is beter bekend als F=ma). Volgens de derde wet van Newton heeft dit weer tot gevolg dat de lucht een reactiekracht op de vleugel uitoefent, die precies evengroot en tegengesteld gericht is. De kracht die wordt uitgeoefend op de lucht is rechtevenredig met de hoeveelheid lucht maal de snelheidsverandering van die lucht die is afgewend per tijdseenheid. Of in formule:

F = (m x Δ v) / (Δ t)

Volgens de derde wet van Newton zal de lucht dezelfde kracht naar boven tegen de vleugel moeten uitoefenen, wat dus als gevolg heeft dat je de kracht F in bovenstaande formule kan beschouwen als de kracht die omhoog wordt uitgeoefend tegen de vleugel door de lucht, terwijl de m en Δ v nog steeds om de massa en snelheidsverandering van de lucht gaan.
Je zou je kunnen afvragen waarom de lucht zich naar beneden laat buigen door de vleugel, als niks in de weg staat om de lucht rechtdoor te laten gaan. Of dat er wel genoeg lucht wordt afgewend om de reactiekracht groot genoeg te laten zijn om het vliegtuig in de lucht te houden.

§4 Het Coanda effect

Een apart verschijnsel in figuur 3 is dat de luchtlijnen min of meer de bovenlijn van de vleugel volgen, terwijl er niks in de wegstaat om de lucht rechtdoor te laten gaan. De verklaring hiervoor is het Coanda effect. Het Coanda effect verklaart door middel van het bekijken van de luchtstroom op molecuul niveau waarom een vloeistof of gas een oppervlakte neigt te volgen.
Als een luchtstroom langs een oppervlakte stroomt dan zal de stroom moleculen dat dichter bij het oppervlak zit een lagere snelheid hebben dan die verder bij het oppervlak vandaan zit. Bij elke stroom geldt dat de moleculen die het dichtst bij het oppervlak zitten een snelheid van 0 ms-1. Hoe verder je naar buiten gaat, hoe hoger de snelheid van de molecuul stroom is, totdat de snelheid van de moleculen de snelheid van de luchtstroom dat ver langs het vliegtuig langs stroomt.

Dit stelt niet een vleugel oppervlak voor maar een buisje waar een stof doorheen stroomt. Des te groter de afstand van de wand, des te groter de snelheid van de stof. Omdat dit in een buisje zit zal er geen resulterende kracht op werken. Als één kant van het buisje wordt verwijderd (bijvoorbeeld de bovenkant) dan krijg je dit als resultaat.

Omdat de buitenkant van de vloeistof (of gas-)stroom een grotere snelheid heeft dan de binnenkant van de stroom, zal de buitenkant naar binnen neigen te buigen. Oftewel, de vloeistof zal altijd richting het oppervlak neigen te draaien. Dit gebeurt ook bij een auto die half op de weg en half in het zand rijdt, de auto zal dan in de richting van het zand draaien. Op deze manier kan men een stroom langs een bepaald oppervlak laten lopen, ook al gebeurd dit op de kop. Een goed voorbeeld hiervan is het glas dat je onder de waterkraan houdt. Het water loopt er niet verticaal vanaf, maar zal het glas zo ver mogelijk blijven volgen. Het water komt er pas weer vanaf als de kracht die nodig is om de stroom af te buigen te groot is om uitgeoefend te worden, waardoor de stroom rechtdoor zal vloeien. Een andere mogelijkheid is als de stroom aan het eind van het oppervlak is gekomen, dan zal deze zich ongehinderd verder voortbewegen.
Dit eerste voorbeeld is het geval als de invalshoek van het afwendende oppervlak te groot wordt (dit wordt later uitvoeriger besproken), het tweede voorbeeld komt altijd aan het eind van de vleugel voor. Op het eind van de vleugel heeft de gasstroom dan een neerwaartse snelheid, daarom zal deze ook min of meer verticaal van de vleugel af komen.

Om het ‘plakkend’ vermogen van een vloeistof (in dit geval water) te demonstreren heb ik een experimentje uitgevoerd. Ik heb een ei genomen en die onder een waterstraal gehouden. In het eerste voorbeeld heb ik het ei er recht onder gehouden zonder deze onder een hoek te houden (in andere woorden: de hoek van inval is 0°).

De afstand tussen de (relatief aan de vleugel) stilstaande luchtmoleculen en de (eerste) snelst bewegende moleculen is erg dun, ongeveer 2,5 cm. Zoals is te zien in figuur drie.

wordt niet alleen de eerste 2,5 cm afgebogen, maar ook de luchtlaag daarboven. Dit komt doordat de laag van 2,5 cm wordt afgebogen naar beneden en daardoor zal er een leegte boven deze laag ontstaan. Die leegte trekt weer de luchtstroom die daar omheen zit aan, waardoor dus niet alleen de laag van 2,5 cm een neerwaarts moment krijgt, maar ook de lucht daarboven. Er geldt natuurlijk niet dat de lucht kilometers boven de vleugel nog zou worden aangetrokken. Des te hoger je boven de vleugel kijkt, des te minder trekt het vacuüm aan de omringende lucht. Dit verschijnsel is het best waar te nemen in figuur 6. Er is daar te zien dat de waterstroom dikker is dan bij de andere voorbeelden. Hierdoor is de kracht naar beneden (naar beneden in de foto, in het echt dus opzij) te klein om het water af te buigen, daarom laat de straal het oppervlak los en valt het met een zeer kleine neerwaartse (in de foto) snelheid verder naar rechts.

Omdat de aantrekkende luchtstroom niet tot kilometers boven de vleugel wordt aangetrokken is het moeilijk te bepalen hoeveel lucht er nou wel ongeveer wordt afgewend.
Het is natuurlijk makkelijk te begrijpen dat er aan het einde van de vleugel veel minder lucht van boven naar beneden wordt getrokken dan bijvoorbeeld in het midden van de vleugel (vlak boven de romp van het vliegtuig). Het is zelfs zo verdeeld dat er aan de vleugeluiteinden helemaal geen lucht naar beneden wordt getrokken. Dit komt doordat er rond de vleugel (aan het eind dus) dezelfde situatie heerst, omdat deze plekken zijn verbonden met elkaar door de open luchtstroom. Dan zou je kunnen denken dat de lucht dat boven de vleugel in de vorm van een halve cirkel (boven de romp dus even hoog als de helft van de vleugelspanwijdte) naar beneden wordt getrokken. Dit schijnt ook niet het geval te zijn, het lijkt namelijk meer op een halve ellips vorm zoals in het onderstaande plaatje.

Zoals is te zien in het linker deel van het plaatje wordt de lucht dat dicht tegen de vleugel aan zit ook sterker naar beneden afgebogen dan de lucht dat er een stuk boven zit. Het oranje gekleurde gedeelte is dus de lucht die een kracht ondervindt van de vliegtuigvleugel. Dit oranje gekleurde gedeelte wordt ook wel de ‘luchtschep’ genoemd. Een vliegtuig heeft een vaste luchtschep, de afmetingen en plaats ervan zullen niet veranderen bij verandering van snelheid of invalshoek of iets dergelijks. De kwaliteit van de luchtschep hangt af van de afmetingen van de vleugel. Des te groter het oppervlak van de vleugel, des te meer lucht zal de maximaal verkrijgbare neerwaartse snelheid ondervinden. Als de vleugel breder wordt, zal er per tijdseenheid meer lucht worden afgewend, maar de gemiddelde verticale snelheid van de versnelde lucht zal niet veranderen. Als men de vleugel langer maakt (van voor tot achter) dan zal een groter deel (percentage) van de versnelde lucht de maximaal haalbare verticale snelheid krijgen. In andere woorden; de kwaliteit van de versnelling van de lucht zal groter worden naarmate de vleugel langer wordt gemaakt. Er geldt niet tot in de oneindigheid hoe langer hoe beter. Dit geldt alleen maar tot een bepaalde lengte.

Met dit voorbeeld lijkt dus min of meer uitgelegd hoe een vleugel werkt, en hoe deze gevormd moet zijn om voldoende lucht af te wenden. Er is alleen één probleem. Het ei is onder een waterstraal gehouden die alleen langs de bovenkant van het ei stroomde, en deze stroom werd ook wel afgebogen, maar in het echt stroomt er natuurlijk ook een stroom aan de onderkant van het ei, die evenveel wordt afgebogen naar boven. Hierdoor zal het ei een weinig geslaagde vleugel zijn.

§5 De omvang van de liftkracht

In de luchtvaart is het natuurlijk niet het geval dat het vliegtuig alsmaar rechtdoor vliegt, zodat de lift en de stuwkracht beide continu constant kunnen zijn. Er zijn verschillende situaties waarin de liftkracht vele malen groter moet zijn dan wanneer het vliegtuig zich gewoon eenparig rechtlijnig voortbeweegt. Er zijn ook situaties waarin de liftkracht (vele malen) kleiner moet zijn dan in een eenparig rechtlijnige vlucht.
Zo moet de liftkracht bijvoorbeeld bij het opstijgen groter zijn dan de zwaartekracht. Hierdoor zal er een resulterende kracht omhoog werken, waardoor het vliegtuig omhoog wordt versneld. Een ander voorbeeld waarin de liftkracht veel groter moet zijn dan in de normale situatie is als een straaljager bijvoorbeeld een 5G bocht moet maken. Hoe komt het vliegtuig aan deze verschillen in liftkracht?

Deze verschijnselen zijn natuurlijk niet te verklaren door middel van het Bernoulli principe, maar alleen met de lift verklaring door middel van de wetten van Newton. Zoals al eerder is genoemd is de formule voor liftkracht als volgt:

F = (m x Δ v) / (Δ t)

In woorden: de kracht die de lucht uitoefent op de vleugel (de liftkracht) is gelijk aan de massa van het versnelde lucht maal de snelheidsverandering van de lucht en dat geheel gedeeld door de tijd waarin deze versnelling heeft plaatsgevonden. Het is dus duidelijk hoe men de liftkracht kan vergroten. Dat is om de massa van de versnelde lucht te vergroten (groter volume lucht afwenden, of een hogere dichtheid lucht afwenden), de snelheidsverandering te vergroten van de afgewende lucht, of de tijd waarin dit gebeurt korter te maken. Omdat de eerste twee mogelijkheden tot verwarring leiden als je naar de laatste mogelijkheid kijkt is het slim om de liftkracht als volgt uit te drukken:

F = (m / Δ t) x Δ v

Of simpeler gezegd in woorden: de massa van de lucht dat per seconde wordt afgewend maal zijn verticale snelheid. Het is eigenlijk natuurlijk de verandering in de verticale snelheid, maar we nemen hier aan dat de verticale snelheid van de lucht voordat de vleugel er doorheen vliegt 0 ms-1 is. Δ v is dan alleen nog maar:
Δ v = veind - vbegin = veind – 0 = veind.


Op dit plaatje is schematisch het verband tussen de invalshoek, richting en snelheid van de vleugel en de relatieve richtingen en snelheden van de versnelde lucht weergegeven. In dit plaatje is aangenomen dat de vleugel onder een bepaalde invalshoek vliegt. Er wordt vaak gesproken van de effectieve invalshoek. Dit wil zeggen dat de hoek waarbij de liftkracht 0N is gelijk wordt gesteld aan 0°.
De richting van het vliegtuig is niet volledig afhankelijk van de invalshoek van de vleugel. Zo zou het plaatje dat hierboven staat bijvoorbeeld goed mogelijk zijn, een vleugel kan zich onder een hoek nog steeds horizontaal voort bewegen.
De groene pijl stelt de snelheid en de richting van de door de vleugel afgebogen lucht voor, ten opzichte van het vliegtuig (of de piloot), maar natuurlijk ook ten opzichte van een waarnemer bij een windtunnelproef. Dit is een snel vergeten onderdeel van de richting van de lucht die wordt afgewend. De rode pijl geeft namelijk de werkelijke richting aan van de afgewende lucht. Dit is natuurlijk niet precies de richting van de lucht, want de lucht wordt ook met het vliegtuig mee versneld als de vleugel er doorheen vliegt. Zoals al werd beschreven bij het Coanda effect, de moleculen die aan het vleugeloppervlak zitten hebben een snelheid van 0ms-1 ten opzichte van het vliegtuig en dus de snelheid van het vliegtuig ten opzichte van de grond. Hierdoor zal de lucht massa rondom de vleugel altijd een beetje meekrijgen van de snelheid van de vleugel, waardoor de rode pijl niet verticaal naar beneden zou moeten wijzen, maar een beetje naar links gericht. Hetzelfde geldt voor de groene pijl. De luchtmoleculen zullen niet met de geïmpliceerde relatieve snelheid van de van de vleugel af komen, maar ze zullen (relatief aan het vliegtuig) worden vertraagd, waardoor de groene pijl in het echt dus korter is.

Om de liftkracht te vergroten moet de rode pijl dus langer worden (dit kan op een aantal manieren) of de massa van de afgewende lucht (per seconde) moet groter worden, dit kan ook op twee manieren.
Om de rode pijl langer te maken zal er dus iets in het plaatje op de vorige pagina moeten veranderen. Om precies te zijn moet er iets in de driehoek van de drie pijlen veranderen. De lengte van de rode pijl is afhankelijk van de groene pijl. De lengte en richting van de groene pijl is weer afhankelijk van de lengte van de zwarte pijl en van de effectieve invalshoek van de vleugel. De lengte van de zwarte pijl is weer afhankelijk van de snelheid van het vliegtuig. De richting van de zwarte pijl is alleen afhankelijk van hoe je het vliegtuig bekijkt, maar wij bekijken het vliegtuig relatief stilstaand aan het vliegtuig (dus alsof de camera aan het puntje van de vleugel vast zou zitten), zodat de zwarte pijl continu horizontaal naar links zal wijzen.
Om de rode pijl langer te maken moet men dus de zwarte pijl langer maken (sneller vliegen) of de hoek van de groene pijl groter maken (een grotere effectieve invalshoek creëren). Als de zwarte pijl langer wordt gemaakt (en de hoek tussen de zwarte en de groene pijl hetzelfde blijft, dus ook de invalshoek) zal de driehoek gelijkvormig aan de oorspronkelijke driehoek moeten blijven. Dit betekent dat als de zwarte pijl twee maal zo groot wordt, dan moet ook de rode pijl twee maal zo groot worden. Dit verhaal kan je ook in de volgende woorden samenvatten. De verticale snelheid van de afgewende lucht is recht evenredig met de snelheid van de snelheid van het vliegtuig.

De hoek die de groene pijl maakt met de zwarte pijl, is gelijk aan de invalshoek (stelling overstaande hoeken). Als de invalshoek varieert van 0° tot 90° zal de tangens van deze hoek van variëren van 0 tot oneindig. De lengte van de rode pijl is gelijk aan de tangens van hoek α maal de lengte van de zwarte pijl. (tan α = (|rode pijl| / |zwarte pijl|), dus
|rode pijl| = tan α x |zwarte pijl| ). Als de invalshoek dus 90° zou zijn, zou de verticale snelheid van de lucht oneindig maal de snelheid van het vliegtuig zijn, dan zou dus ook de liftkracht oneindig moeten zijn. Dit kan natuurlijk niet. Het vergroten van de invalshoek zal de verticale snelheid van de lucht en dus de liftkracht tot een bepaalde hoek wel degelijk vergroten, maar dit gaat niet door tot 90°. Dit wordt uitvoeriger besproken in een latere paragraaf.

Tot zover het vergroten van de lengte van de rode pijl (dus het vergroten van de Δ v in de liftkracht formule). Een andere mogelijkheid die men heeft voor het vergroten van de liftkracht is het vergroten van de massa per seconde, m / Δ t, van de afgewende lucht. Zoals al eerder werd gezegd kan je hiertoe de snelheid van het vliegtuig vergroten. Als men bijvoorbeeld de snelheid van het vliegtuig zou verdubbelen, dan zou deze in dezelfde tijd langs twee keer zoveel lucht komen. Dan zou de vleugel dus een twee maal zo grote massa aan lucht afwenden. Hieruit kan je concluderen dat de massa afgewende lucht per seconde ook rechtevenredig is met de snelheid van de vleugel. De verticale snelheid van de afgewende lucht was ook recht evenredig met de snelheid van de vleugel. Dit houdt in dat de liftkracht van de vleugel rechtevenredig is met het kwadraat van de snelheid.
Een ander manier om de massa van de afgewende lucht te vergroten is om door lucht te vliegen met een hogere dichtheid. Als een vliegtuig een constante snelheid heeft, dan zal deze per seconde een volume V aan lucht afwenden. De massa m van deze lucht is gelijk aan de dichtheid van de lucht maal de volume van de lucht ( m = V x ρ ). De dichtheid van lucht is over het algemeen omgekeerd evenredig met de hoogte. Op zeeniveau is de dichtheid ongeveer 1 kg/m3(dit is gelijk de eenheid van dichtheid). De massa van de afgewende lucht zal dus met constante snelheid groter worden naarmate men lager gaat vliegen. Het zal dan ook blijken in de luchtvaart dat (met constante snelheid) wanneer men lager gaat vliegen, de liftkracht groter wordt.
Met al deze termen en formules kan je een niet volledig kloppend, maar in de buurt komende formule opstellen als volgt.

F = (m / Δ t) x Δ v

De massa m van de afgewende lucht is zoals eerder gezegd V x ρ. Het volume V kan men als volgt definiëren.

Stel dat deze ellips een dubbele luchtschep is van een vliegtuigvleugel. Voor de vereenvoudiging zullen we ervan uitgaan dat de verhouding a:b zo is verdeeld zoals bij de gulden snede (a/b = b/(a+b)). De oppervlakte van een ellips wordt gedefinieerd als π x A x B. De hoogte A definiëren we hierin met behulp van de gulden snede verhouding:
(waarin B dus de halve spanwijdte voorstelt)

A/B = B/(A+B) è A(A+B)/B = B è (A2 + AB)/B = B è A2 + AB = B2 è
A2 + AB – B2 = 0

Dan volgens ABC formule:
(waarin
a=1
b=B (de halve spanwijdte)
c=-B2)

x = -b + Ö(b² - 4ac)2a

We gebruiken in dit voorbeeld voor de ABC- formule geen “- Discriminant” want dan komt er een negatieve waarde voor A uit, en dat is niet mogelijk. De oppervlakte van de totale ellips luidt dus als volgt:

π x (-B + Ö(B² - 4 x -B2))/2 x B = π x (-B + Ö(5) x B)/2 x B = π x ((-1 + Ö(5))B)/2 x B =

(1/2)B x πB(-1 + Ö(5)) = (1/2)πB2 (-1 + Ö(5)) m2

Dit is natuurlijk de oppervlakte van de hele ellips, terwijl we alleen de oppervlakte van het bovenste deel willen weten (het deel van de lucht dat omlaag wordt getrokken). Daarom moeten we deze oppervlakte maal een half doen, zodat we krijgen:

(1/4)πB2 (-1 + Ö(5)) m2

De inhoud berekenen we met oppervlakte (bovenstaande formule) maal diepte. De diepte is de afstand die de vleugel aflegt in 1 seconde (zodat we het volume van de lucht dat in 1 seconde wordt afgewend krijgen), oftewel de snelheid van de vleugel in ms-1. Het volume per seconde komt dan uit op:

V / Δ t = vvliegtuig (1/4)πB2 (-1 + Ö(5)) m3s-1

Met dus v de relatieve (aan de aarde) vliegsnelheid van de vleugel. Om deze in de liftkracht formule te kunnen zetten moeten we er een massa m van maken, dat kan door er ρ voor te zetten (volgens m = V x ρ ). Dan krijgen we dit:

m / Δ t = ρvvliegtuig (1/4)πB2 (-1 + Ö(5)) kg s-1

Omdat deze formule niet helemaal exact is (dit komt door de niet exact elliptische vorm van de luchtschep en het feit dat de verhouding binnen die luchtschep niet precies zoals die van de gulden snede zijn) moeten we er een (zelfgenaamde) variabele kwaliteitscoëfficiënt inzetten. Deze is dus zelfbedacht, en noem ik de Ŧ.
Hiermee krijgen we de uiteindelijke formule:

m / Δ t = Ŧ x ρvvliegtuig (1/4)πB2 (-1 + Ö(5)) kg s-1

De waarde van dit coëfficiënt zal nooit precies 1 zijn. Hij zal voor elk vliegtuig anders zijn.
Deze formule voor m / Δ t kunnen we nu rechtstreeks in de liftkracht formule invullen.
De formule voor Δ v hebben we een stuk terug al uitgezocht, namelijk:

|rode pijl| = tan α x |zwarte pijl|

We kunnen dit mooier (en ook duidelijker) opschrijven als:

Δ v = vvliegtuig x tan α

Het enige bezwaarlijke hier is dat we ervan uitgaan dat elk luchtdeeltje die (maximale) snelheidsverandering zal ondervinden. We kunnen deze fout opvangen door te veronderstellen dat de helft van de luchtdeeltjes deze maximale snelheidsverandering ondergaat. Omdat dit niet bij elke vleugel hetzelfde is zetten we er weer een (zelfgenaamde) variabele kwaliteitscoëfficiënt in, de Ħ. Dan krijgen we dus:

Δ v = ½Ħ x vvliegtuig x tan α ms-1

Dan geldt voor Ħ dat als de bovengenoemde stelling precies klopt, de waarde 1 zal zijn. Eén probleem. De waarde zal bijna nooit precies 1 zijn, het is daarom ook een variabele.
De formule “F = (m / Δ t) x Δ v” kunnen we nu dus schrijven als:

F = Ŧ x ρvvliegtuig (1/4)πB2 (-1 + Ö(5)) x ½Ħ x vvliegtuig x tan α è

F = (1/8)ŦĦ x ρ x (vvliegtuig) 2 x πB2 (-1 + Ö(5)) x tan α

Waarin Ŧ de luchtmassacoëfficiënt is (geen eenheid), Ħ de vleugelkwaliteitscoëfficiënt is (geen eenheid), ρ de luchtdichtheid is (in kg m-3), vvliegtuig de snelheid van het vliegtuig is ( in ms-1), B de lengte van één vleugel is (in m) en α de effectieve invalshoek van de vleugel is (in graden). Omdat er in de formule staat ‘tan α’ zal deze factor in de formule geen eenheid hebben (graden valt dus weg). Als we de eenheid controle doen, krijgen we er volgens deze formule uit:

kg m-3 x m2s-2 x m2 = kg m s-2 = N

Dat staat gelijk aan N (Newton) dus technisch klopt de formule.

Bij het kijken naar de lift van een vleugel zouden de meeste mensen denken dat het grootste deel van de lift wordt verkregen doordat er lucht tegen de onderkant van de vleugel aankomt, en daardoor naar beneden afstuitert (of af wordt gewend). Omdat hier nergens een leegte ontstaat, zal er ook geen lucht van boven of onder naar beneden worden versneld. Daarom is de liftkracht die de onderkant van de vleugel produceert relatief aan de liftkracht van de bovenkant erg klein en daarom verwaarlozen we dat ook in de formule.

Aan de formule is dus te zien dat de liftkracht kwadratisch toeneemt met de vliegsnelheid, een piloot zal dus de vliegsnelheid veranderen als optie hebben wanneer hij wilt stijgen of dalen. Daarnaast kan hij nog de invalshoek van de vleugel veranderen om de liftkracht te veranderen, maar hij kan ook lager of hoger gaan vliegen (voor een andere luchtdichtheid). Bij de eerste twee wordt de verandering al erg snel merkbaar, maar bij de laatste niet echt, de laatste wordt dan ook nooit gebruikt om meer of minder liftkracht te verkrijgen.

Wanneer een vliegtuig opstijgt of gewoon stijgt in de lucht is het eerste wat opvalt dat de piloot de invalshoek van de vleugels verandert, de neus gaat verder omhoog wijzen. Hierdoor zal de lift ook inderdaad groter worden, en zal er een versnelling omhoog optreden. Het andere dat opvalt bij het opstijgen is dat het vliegtuig eerst op snelheid moet komen, en dat is meestal niet rond de, zeg 15 m s-1 , maar veel hoger. Je zou kunnen denken dat het vliegtuig genoeg lift kan opwekken bij elke snelheid, zolang de effectieve invalshoek maar groot genoeg is. Dit is niet het geval, de effectieve invalshoek is slechts ‘bruikbaar’ tot een bepaalde hoek (de kritieke hoek). De snelheid moet dus hoog genoeg zijn, zodat de invalshoek onder deze kritieke hoek kan blijven. Op dit moment kan het vliegtuig pas opstijgen. Meer over de maximale invalshoek in een latere paragraaf.
Tot nu toe dus twee verschijnselen in de luchtvaart waarbij de invalshoek wordt veranderd en een andere waarbij de invalshoek en de snelheid allebei worden veranderd. Er is ook een situatie in de luchtvaart waarbij men alleen de snelheid veranderd. Omdat de snelheid van het vliegtuig met een kwadraat in de formule staat, heeft deze dus erg veel invloed op de liftkracht. Als een vliegtuig aankomt voor de landing en het vliegtuig zit te hoog (maar op goede snelheid en juiste invalshoek), dan zal deze ook eerder de snelheid veranderen (door de stuwkracht te verminderen) waardoor de liftkracht dus relatief snel afneemt, waardoor het vliegtuig zal gaan zakken. Als het vliegtuig zakt wordt er zwaarte energie omgezet naar kinetische energie, zodat het vliegtuig na het dalen weer snelheid oppikt. Op deze manier heeft het vliegtuig zijn snelheid en invalshoek behouden terwijl hij wat hoogte heeft ingeleverd en nu ligt het vliegtuig weer precies op koers. Als het vliegtuig te laag zou vliegen, dan zou de piloot de snelheid verhogen, waardoor er precies het omgekeerde gebeurd als wat er in het bovenstaande voorbeeld plaatsvindt.

Als de piloot wel de invalshoek verandert (meestal doet hij dit als hij moet stijgen of dalen tijdens de vlucht) om de lift te vergroten of verkleinen, dan zullen een aantal krachtkoppels veranderd worden. De zwaartekracht vector zal naar beneden blijven wijzen (dat wilt zeggen naar het midden van de aarde) terwijl het vliegtuig onder een hoek omhoog vliegt (in dit voorbeeld). Hierdoor zal de zwaartekracht een component hebben die het vliegtuig afremt en een verticale component die loodrecht op het vliegtuig staat (dus die de liftkracht tegenwerkt, net zoals in normale vlucht). Schematisch is dit zo weer te geven.

Om te compenseren wordt de stuwkracht verhoogd zodat de snelheid gelijk blijft.

Om deze reden zal een piloot de stuwkracht ook nooit hetzelfde houden in een duik of een klim. Als hij duikt, zal eerst de stuwkracht worden verminderd en daarna de neus naar beneden draaien. Als hij gaat klimmen, zal eerst de stuwkracht worden verhoogd en daarna zal de klim worden ingezet. Als dan de juiste hoogte is bereikt zal de stuwkracht weer worden hersteld naar zijn oorspronkelijke stand, waardoor het vliegtuig op een andere hoogte met dezelfde snelheid door kan vliegen.
De hoek die de zwaartekracht maakt met de ‘liftkracht tegenwerkende’- zwaartekracht component is gelijk aan de hoek van inval. De afremmende kracht als component van de zwaartekracht is dan ook makkelijk weer te geven als volgt:

Fz,x = sin α x mvliegtuig x g

Waarin α de invalshoek is en mvliegtuig de massa van het vliegtuig (en g 9,81 ms-2). Fz,x is dan niet alleen de kracht die het vooruit vliegen van het vliegtuig tegenwerkt, dit is ook gelijk de kracht die de piloot aan de stuwkracht toe moet voegen om dezelfde resulterende kracht (vooruit ten opzichte van het vliegtuig) te krijgen als voor de klim.

§6 Liftkracht in praktijk

We weten nu dus hoe je de liftkracht min of meer kan berekenen als je beschikt over voldoende informatie over het vliegtuig (invalshoek, vliegsnelheid enzovoort). Maar hoeveel ton aan lucht moeten hedendaagse vliegtuigen per seconde afwenden om in de lucht te blijven?
We gaan kijken naar het gewicht van een aantal moderne, hedendaagse vliegtuigen en gaan met de gegevens uitrekenen hoeveel ton lucht elk vliegtuig per seconde aan lucht moet afwenden met snelheid 250 km/u en effectieve invalshoek 5°. De neerwaartse snelheid van de afgewende lucht is dan:

tan 5° x 69,4 ms-1 = 6,08 ms-1. We passen weer de regel toe dat we veronderstellen dat slechts de helft van de afgewende lucht deze snelheid bereikt. Dit kan je ook zeggen als: al het afgewende lucht heeft de helft van deze snelheid. We nemen dus als Δ v 3,04 ms-1.

De 737-500

Maximaal opstijg gewicht: 62.823 kg

Fz = 62.823 x g = 616.294 N
Fz = Fl
Fl = (m / Δ t) x Δ v
(m / Δ t) = F / Δ v = 616,294 N / 3,04 ms-1 = 202.728 kgs-1

met 500 km/u :

(m / Δ t) = F / Δ v = 616,294 N / 6,08 ms-1 = 101,364 kgs-1

De Cessna Skylane 182 S

Maximaal opstijg gewicht: 1.411 kg

Fz = 1,411 x g = 13.842 N
Fz = Fl
Fl = (m / Δ t) x Δ v
(m / Δ t) = F / Δ v = 13.842 N / 3,04 ms-1 = 4.553 kgs-1

De F-16 Fighting Falcon

Maximaal opstijg gewicht: 16.875 kg

Fz = 1,411 x g = 165.544 N
Fz = Fl
Fl = (m / Δ t) x Δ v
(m / Δ t) = F / Δ v = 165.544 N / 3,04 ms-1 = 54.455 kgs-1
De Concorde

Maximaal opstijg gewicht: 185,070 kg

Fz = 1.411 x g = 1.815.537 N
Fz = Fl
Fl = (m / Δ t) x Δ v
(m / Δ t) = F / Δ v = 1.815.537 N / 3,04 ms-1 = 597.216 kgs-1

met 600 km/u:

(m / Δ t) = F / Δ v = 1.815.537 N / 7,29 ms-1 = 249.045 kgs-1

Sommige van deze gewichten zijn natuurlijk absurd groot met 250 km/u. Het geldt dan ook niet voor alle vliegtuigen in het voorbeeld dat er ook daadwerkelijk zoveel kilogram aan lucht per seconde wordt afgewend. Er zijn namelijk vliegtuigen bij (in dit voorbeeld de 737 en de Concorde) die een veel grotere snelheid nodig hebben om te kunnen blijven vliegen. De hogere snelheden (500- en 600 km/u) zijn dan ook wel realistisch. Hoe hoger de snelheid is, hoe kleiner het gewicht van het lucht is dat moet worden afgewend. Voor deze twee zwaardere vliegtuigen zal het voorbeeld van 250 km/u dan ook een vertekend beeld geven, maar misschien voor de F-16 en zeker voor de Cessna zijn dit wel degelijk realistische getallen.
Men kan hieruit concluderen dat het dus niet het geval is dat het vliegtuig zijn eigen gewicht per seconde moet afwenden, maar over het algemeen wel wat meer. Met het voorbeeld van 250 km/u is te zien dat elk vliegtuig ongeveer vier maal zijn eigen gewicht aan lucht moet afwenden.

§7 Vliegvermogen

Elk vliegtuig heeft een vorm van aandrijving nodig. De meeste hebben een motor, het zij propeller, het zij een straalmotor. Een ander voorkomende aandrijving is die van zweefvliegtuigen. De aandrijving zit niet op het vliegtuig zelf, en trekt het vliegtuig ook niet recht vooruit zoals bij de motor aandrijving. Bij zweefvliegtuigen is de aandrijving thermiek. Warme stijgende lucht. Een vliegtuig kan natuurlijk ook zonder motor of thermiek vliegen, als de motor bijvoorbeeld kapot is en het is slecht weer. Om het vliegtuig dan in de lucht te kunnen houden heeft het vliegtuig hoogte nodig. Oftewel in dit laatste voorbeeld is de aantrekkingskracht tussen vliegtuig en aarde de aandrijving.

Het lijkt erop dat voor elk vliegtuig of vliegend object een aandrijving nodig is in wat voor vorm dan ook. Tijdens het vliegen, wat vraagt vermogen, waar hangt het vanaf en hoeveel vermogen vraagt het.

Waarom hebben vliegtuigen aandrijving nodig. Het is niet het eerste waar je aan denkt, maar liftkracht opwekken daar is energie voor nodig. Vermogen is energie gedeeld door tijd of energie per tijdseenheid. Hoe komt het dat de motor bijdraagt aan het leveren van vermogen om liftkracht op te wekken voor het vliegtuig.
Als een propeller ronddraait zal deze lucht naar achter afwenden (precies zoals met een vleugel, een propeller bestaat immers uit een aantal propellerbladen met dezelfde vorm als een vleugel) hij zal dus een resulterende kracht naar voren opwekken, waardoor de propeller en dus ook het hele vliegtuig een versnelling vooruit zal krijgen. De vleugel oefent een arbeid uit op de lucht om dit te buigen. Vermogen wordt gedefinieerd als arbeid per tijdseenheid ( P = W / Δ t ) of energie per tijdseenheid (P = W / Δ t ) . Hieruit volgt dat de vleugel een vermogen nodig heeft om de lucht om te buigen. Dit vermogen wordt weer via de aandrijving op de vleugel over gebracht.
De vraag is nu natuurlijk hoe kunnen we berekenen hoeveel energie er is afgegeven aan de lucht die wordt afgebogen door de vleugel. Zoals bij elk voorwerp geldt voor de kinetische energie die een object bezit staat gelijk aan ½mv2. Voor de lucht die in beweging is gebracht geldt dan natuurlijk precies hetzelfde. De kinetische energie die de lucht bezit is gelijk aan de helft van de massa van de lucht dat in beweging is, maal het kwadraat van de gemiddelde snelheid van die lucht. Het vermogen dat de aandrijving moet leveren is dus de massa van de afgewende lucht (in één seconde afgewend) maal een half maal de gemiddelde snelheid van de afgewende lucht (ook in één seconde afgewend) in het kwadraat. Als de neerwaartse snelheid van een bepaalde luchtmassa dus groter wordt, zal de energie die daarvoor nodig is (en dus ook het vermogen) 22 = 4 maal zo groot worden. Als de neerwaartse snelheid nou gehalveerd wordt, zal het vereiste vermogen (½)2 = ¼ maal zo groot worden, oftewel 4 maal zo klein. Door dit kwadraat gebeurt er iets interessants als men sneller gaat vliegen.
Stel dat een vliegtuig rechtdoor, op gelijke hoogte wilt blijven vliegen, maar wel harder. Dan zal de liftkracht dus gelijk moeten blijven, en dus ook de massa van de lucht maal de gemiddelde snelheid van die lucht dat per seconde wordt afgewend. Stel dat de piloot twee keer zo hard wilt gaan vliegen, dan zal er dus een twee keer zo grote massa lucht worden afgewend per seconde. Omdat de lift gelijk moet blijven (en dus ook m x Δ v) zal de Δ v twee keer zo klein moeten worden. Omdat het vermogen kwadratisch toeneemt met kinetische energie zal het vermogen in dit geval dus ook 22 = 4 keer zo klein worden. Omdat de massa m ook in de kinetische energie formule staat, zal deze door het verdubbelen van de snelheid ook verdubbeld worden. Als resultaat krijg je dan niet dat het vermogen gelijk blijft, maar het vermogen wordt gehalveerd. In formule vorm is duidelijk te maken hoe het vermogen verandert met de verandering van de snelheid

Ek = ½mv2 = mv x v x ½

Als de snelheid nou verandert wordt, verandert ook de afgewende luchtmassa per seconde. Volgens m / Δ t = Ŧ x ρvvliegtuig (1/4)πB2 (-1 + Ö(5)) kg s-1 verloopt deze snelheidsverandering recht evenredig met de massa per seconde verandering.
Nu kan je zeggen, als de snelheid a maal zo groot wordt, zal ook de massa van de afgewende lucht per seconde a maal zo groot worden. Dan krijg je dit:

F = (a x m / Δ t) x Δ v

De liftkracht neigt dan ook a maal zo groot te worden. Door de invalshoek te veranderen, verander je ook de snelheidsverandering van de afgewende lucht, en wel zodanig dat deze a maal zo klein wordt, oftewel 1/a maal zo groot. Dan blijft de lift dus gelijk volgens

F = (a x m / Δ t) x 1/a xΔ v = (m / Δ t) x Δ v

De liftkracht verandert niet, maar het vereiste vermogen wel. Oorspronkelijk was het namelijk:

½mv2 = ½ x mv x v

Nu wordt alleen de massa m vermenigvuldigt met factor a, en alle snelheden v gedeeld door factor a. Wat je dan krijgt ziet er als volgt uit:

½ x a x m x v/a x v/a = ½ x m x v x v/a = ( ½ x mv x v )/a

De energie die nu per seconde nodig is is gedeeld door een factor a. Als conclusie kan men hieruit trekken dat het vermogen recht evenredig is met 1/(snelheid). Wordt de snelheid twee maal zo groot, dan wordt het vermogen twee maal zo klein, wordt de snelheid acht maal zo groot, dan wordt het vereiste vermogen acht maal zo klein. Als dit vermogen het enige vermogen zou zijn geweest dat meespeelde, dan zou het dus geen energie kosten om op een oneindig hoge snelheid te vliegen. Dat klopt natuurlijk niet.

Wat we niet hebben meegeteld is natuurlijk de luchtwrijving die het vliegtuig ondervindt van de relatieve wind. We hebben dus eigenlijk twee soorten wrijving. Het vermogen vereist voor het afwenden van lucht, dit heet het geïnduceerd vermogen. Het vermogen dat nodig is om de ‘gewone’ luchtwrijving te overwinnen heet ‘parasitic’ (engels) vermogen.
Wat er feitelijk gebeurt tijdens het vliegen is dat het vliegtuig tegen een luchtmolecuul opbotst. Hierdoor krijgt het molecuul energie volgens de formule ½mv2. Je kan aannemen dat alle luchtmoleculen gemiddeld stilstaan ten opzichte van de aarde en als er dan een vliegtuig tegenaan ‘botst’ zal dat molecuul de snelheid van het vliegtuig meekrijgen. De energie die het kost om één molecuul deze snelheid mee te geven is dus ½mv2. Deze energie loopt dus kwadratisch op met de vliegsnelheid. Ook als men sneller gaat vliegen, dan zal er meer vermogen nodig zijn om de hogere ‘parasitic’ wrijving te overwinnen. Het aantal botsingen dat het vliegtuig maakt met de luchtmoleculen is recht evenredig met de snelheid van het vliegtuig; vliegt hij twee keer zo hard, dan komt hij twee keer zoveel luchtmoleculen tegen. Maar als het vliegtuig twee keer zo hard vliegt, zal de kinetische energie per molecuul vier keer zo hoog worden (door het kwadraat in de kinetische energie formule). Al met al zal het vereiste vermogen dus met a3 toenemen als de snelheid a keer zo groot wordt gemaakt.

‘Parasitic’ wrijving en geïnduceerde wrijving treden natuurlijk allebei tegelijk op. Daarom zal het totale vereiste vermogen om de wrijving te overwinnen ook ‘parasitic’ vermogen + geïnduceerd vermogen zijn. Het ‘parasitic’ vermogen is recht evenredig met de snelheid3 en het geïnduceerde vermogen is rechtevenredig met 1/snelheid. Het totaal zal er dus in formulevorm als volgt uitzien:

Pw = av3 + b/v

Hierin zijn a en b beide constant.
De grafiek van deze formule en beide vermogens apart ziet er zo uit.

Aan de grafiek is te zien dat bij het langzaam vliegen, het ‘parasitic’ vermogen heel laag is en het geïnduceerd vermogen juist heel hoog. Als men snel gaat vliegen wordt het vereiste vermogen al heel snel bepaal door het ‘parasitic’ vermogen. Bij het snel vliegen is het geïnduceerde vermogen zo sterk gestegen dat dit te verwaarlozen is.
Door deze eigenschappen worden vliegtuigen ontworpen om het vermogen waaronder zij het meest ‘lijden’ het best te verminderen. Zo zie je bij dubbeldekkers (dat zijn vliegtuigen met twee vleugels boven elkaar), die erg langzaam vliegen, dat die zo goed als helemaal niet gestroomlijnd is. Bij de snellere vliegtuigen, bijvoorbeeld de straaljagers of de commerciële vliegtuigen, is duidelijk te zien dat men er alles aan heeft gedaan om de windwrijving (‘parasitic’) zo laag mogelijk te houden.

§8 De invalshoek

Zoals in paragraaf 1.5 al is laten zien, heeft de invalshoek erg veel invloed op de lift. Het beïnvloed namelijk de neerwaartse snelheid van de afgewende lucht. Volgens mijn zelf ontwikkelde formule, waarin tan α voorkwam, zal de liftkracht uiteindelijk oneindig worden, als de hoek α maar groot genoeg wordt gemaakt. Dit kan natuurlijk niet in de praktijk. Zoals we al zagen bij paragraaf 1.4, het Coanda effect, laat het water in het laatste voorbeeld het oppervlak van het ei los. Dit water wat wordt losgelaten zal dus niet meer verder worden afgebogen door het eioppervlak, en dus zal de uitgeoefende kracht niet meer maximaal zijn. Er is dan ook een hoek waarvoor geldt dat als deze iets groter wordt, de gasstroom minder effectief af zal buigen. Deze hoek zal dus als eigenschappen hebben dat de maximale hoeveelheid lucht wordt afgebogen, met de maximale snelheid. Oftewel, dit is de maximale effectieve hoek. Als de hoek groter wordt gemaakt, zal de liftkracht drastisch afnemen en als de hoek kleiner wordt gemaakt zal de liftkracht ook afnemen, maar minder drastisch. Deze hoek wordt de kritieke hoek genoemd, en ligt bij de meeste vliegtuigen om en nabij de 15°.
Men zou dus kunnen zeggen dat mijn formule klopt, mits α < 15°.
We gaan door middel van een experiment met een zelfgemaakte vleugel en een blower uittesten waar deze kritieke hoek precies ligt, en wat er gebeurd met de liftkracht als α iets groter of iets kleiner wordt.

Met een zelfontworpen vleugel gemaakt van vijf dunne, stevige kartonnen paneeltjes en een dunne krant erover heen geplakt heb ik het experiment uitgevoerd. Ik heb daarvoor een balans gebruikt met aan de ene kant de vleugel opgehangen aan twee touwtjes, en aan de andere kant een emmertje waar ik zand in kon doen om de vleugel en het emmertje precies in evenwicht te houden. Ik maakte met dit experiment gebruik van de effectieve invalshoek, dat wilt dus zeggen dat 0° een liftkracht van 0 N zou voortbrengen. Deze hoek van 0° heb ik als volgt bepaald. Allereerst heb ik de vleugel op het uiteinde van de balans gehangen (aan hangertje 10) en het emmertje aan nummer 2. Daarna heb ik (zonder blower) het emmertje zó gevuld dat de balans ook daadwerkelijk in balans was. Daarna zette ik de blower aan (zonder aan het emmertje te komen) en dan bleek dat de vleugel lichter werd (doordat het emmertje ging zakken). Toen heb ik de invalshoek zodanig veranderd dat de twee gewichten weer in balans waren. Deze hoek heb ik 0° genoemd. Vervolgens heb ik een blaadje genomen met hoeken van 0° tot 24° en zo opgehangen dat deze samen viel met de effectieve invalshoek. De opstelling zag er als volgt uit.

Ik ging als volgt te werk om de liftkracht van de vleugel met een variabele invalshoek te berekenen. Volgens mijn zelfbedachte formule zijn de variabelen de windsnelheid, vleugeloppervlakte en invalshoek. De eerste twee worden constant gehouden (blower in dezelfde stand en door steeds gebruik te maken van dezelfde vleugel) terwijl de derde telkens veranderd wordt. Omdat de vleugel in twee lusjes hangt aan de balans, is de hoek makkelijk te veranderen. Door het blaadje tegen de muur aan was dit zeer nauwkeurig te doen. Vervolgens zette ik de vleugel in elke hoek van 0° tot 24° met steeds stappen van 3°. Als ik de hoek vergrootte (onder de 15°) ging de vleugel telkens weer iets verder omhoog. Hierdoor moest ik zand uit het emmertje halen zodat de twee gewichten weer in evenwicht kwamen. Als ik de hoek groter dan 15° maakte, merkte ik dat de liftkracht minder werd (precies zoals verwacht) en moest ik dus extra zand in het emmertje doen.
Bij elke hoek, als de balans in evenwicht was, heb ik het emmertje gewogen en deze gewichten opgeschreven naast zijn bijbehorende invalshoek. Daarmee heb ik de volgende resultaten behaald, waarin me de massa van het emmertje in gram voorstelt.

α(°) me

0 64,39
3 55,80
6 50,27
9 49,61
12 46,06
15 39,77
18 51,20
21 51,85
24 52,18


Omdat er moet gelden: 2 x me x g = 10 x Fres,v, kan je gemakkelijk de liftkracht berekenen uit de verkregen gegevens. Hierin is Fv,z de zwaartekracht die de vleugel produceert. mv is 0,012878 kg.

Fl = Fv,z – Fres , oftewel:

Fl = Fv,z – ( (2 x me x g)/10)

Uit deze formule volgen deze resultaten:

α(°) Fl

0 0
3 0,01686
6 0,02770
9 0,02900
12 0,03596
15 0,04530
18 0,02588
21 0,02460
24 0,02396

Hierin is duidelijk te zien dat de liftkracht rond de 15° op zijn top zit, zoals voorspeld. De grafiek waarin de liftkracht is uitgezet tegen de invalshoek heb ik als bijlage in dit verslag gevoegd.

Om nog meer uit mijn proef te halen heb ik een aantal mogelijkheden uitgeprobeerd om de luchtstroom rond de vleugel weer te geven. Hiertoe heb ik een bordenwisser uitgeklopt boven de blower uitgang, maar de stof werd zover uit elkaar geblazen dat er geen baan meer te zien was. Daarna heb ik bij Mr. Brouwer een sigaret gehaald en heb ik Mr. Koningen de sigarettenrook laten inhaleren en vervolgens uit laten blazen in de luchtstroom zoals op de volgende bladzijde is te zien.

Zoals te zien is was ook dit idee geen succes. De sigarettenrook werd onzichtbaar voor de camera. Helaas kon ik geen beter middel bemachtigen om de luchtstroom toch weer te geven, en heb ik het hier maar bij gelaten.

§9 Het draaien om de assen

Een vliegtuig blijft natuurlijk niet altijd rechtuit vliegen. Hij zal een keer gaan draaien om van richting, hoogte of gewoon van stand te veranderen. Bij elk vliegtuig zijn er drie assen waarom het vliegtuig kan gaan draaien (vanwege de drie dimensies waarin we leven).
Allereerst de as van links naar rechts; de stamp - as. Het vliegtuig draait om deze as als de invalshoek moet worden veranderd.
Een andere horizontale as; de rol – as. Als het vliegt moet draaien zal het vliegtuig om deze as draaien. In dat geval zal het ene vleugel uiteinde lager zitten dan het andere.
De derde as is de verticale draai - as, waar het vliegtuig omheen draait als de neus naar een andere koers moet gaan wijzen.
Al deze drie assen snijden elkaar in hetzelfde punt; het zwaartepunt.

Alle drie de assen worden voor totaal andere doelen gebruikt. De stamp – as wordt gebruikt om de invalshoek te veranderen. Dit wordt gebruikt bij de landing, maar ook bij het opstijgen en bij het stijgen en dalen tijdens de vlucht.
De rol – as wordt gebruikt als het vliegtuig een bocht wilt gaan maken. Doordat het vliegtuig om zijn rol – as draait zal de liftkracht te ontbinden zijn in de verticale component en in de horizontale component. Hierdoor zal het vliegtuig een zijwaartse versnelling krijgen.
De draai – as wordt gebruikt om de neus van het vliegtuig in een andere richting te laten wijzen. Door het draaien om deze as zal er geen versnelling plaatsvinden.

Voor elke as zijn er één of meerdere ‘panelen’ aangebracht op het vliegtuig. We gaan bij allemaal kijken waar ze zitten, hoe ze werken en wat ze als resultaat doen.

Figuur 20


De meest opvallende panelen zijn die op de vleugel zitten. Om precies te zijn zitten ze vast aan de achterkant van de vleugel (aan de uiteinden) waar ze goed de luchtstroom kunnen beïnvloeden en een groot moment kunnen uitoefenen op het vliegtuig. Als het vliegtuig naar rechts wilt draaien, dus dat de rechtervleugel lager komt dan de linker vleugel, zal het vliegtuig een moment mee moeten krijgen. Dit moment zal pas optreden als er een resulterende kracht buiten het zwaartepunt heerst. Wat er dus moet gebeuren is dat er een kracht gaat werken op één van de twee panelen (of op allebei) waardoor er een moment ontstaat, waardoor het vliegtuig zal gaan draaien. Net zoals bij het lift principe zullen deze panelen een kracht op de lucht moeten uitoefenen waardoor de lucht een kracht op de panelen uitoefent als reactie. Deze kracht zal een moment opwekken en daardoor zal het vliegtuig gaan rollen. Omdat het vliegtuig naar rechts moet rollen, en de rechtervleugel dus lager moet komen dan de linker, zal de rechter vleugel ook een moment omlaag (met de klok mee, dus negatief) moeten krijgen. Om het rollen sneller te laten gaan krijgt ook de rechtervleugel een (positief) moment omhoog gericht. Door deze resulterende krachten zal het vliegtuig naar rechts rollen. Maar hoe worden deze krachten opgewekt?
Zoals wordt beschreven in paragraaf 1.3 wordt de liftkracht beïnvloed door de verticale snelheid van de lucht dat wordt afgewend. Door het roer aan de rechtervleugel om hoog te zetten (dus met het meest achterste deel omhoog gericht) zal deze verticale snelheid op het gebied van dat paneel zelfs negatief worden, oftewel omhoog gericht. De reactiekracht van de lucht op de vleugel is gelijk aan de massa van de lucht per seconde gedeeld door de (gemiddelde) verticale snelheid ervan. De resulterende kracht zal dus omlaag werken. Bij de linker vleugel zal de (plaatselijke) invalshoek, oftewel de invalshoek op het paneel worden vergroot omdat deze naar beneden wordt gericht. Zoals we hebben bekeken in paragraaf 1.5 betekent dit dat de liftkracht groter wordt. Er zal dus een vergrote kracht omhoog optreden. Deze kracht wekt een moment op dat in de richting van de wijzers van de klok draait, ook hier ontstaat dus een negatief moment. Je hebt dan als resultante een negatief moment (beide vleugels bij elkaar opgeteld), het vliegtuig zal gaan rollen om zijn rol – as met de wijzers van de klok mee.

De andere twee roeren zitten vast aan de staart. De stamproeren werken niet in een paar zoals bij de rolroeren. Er zijn er wel twee van, maar ze zullen allebei altijd in dezelfde richting hebben, en dus de zelfde invalshoek hebben en dus ook altijd dezelfde lift produceren (als de ander). Omdat ze samenwerken hoeven we deze twee roeren niet te bekijken als twee roeren, maar gewoon als één grote.
Wil het vliegtuig een grotere invalshoek verkrijgen, dan zal er een moment moeten ontstaan. Dit moment wordt opgewekt in de staart bij de stamp roeren. De roeren werken precies hetzelfde als de rol roeren. Als het vliegtuig een grotere invalshoek moet krijgen, betekent het dat het vliegtuig (gezien aan de linkerzijde) een negatief moment moet opwekken. Als de stamproeren een negatief moment moet opwekken, zal de kracht in de staart naar beneden moeten worden gericht. Stel dat deze kracht de reactiekracht is, dan zal de actie kracht naar boven moeten worden gericht. De achterkant van de panelen zal dan ook omhoog gaan staan, waardoor er weer een plaatselijke negatieve invalshoek ontstaat. Net zoals bij de rol roeren zal dit een negatieve liftkracht tot gevolg hebben. Hierdoor ontstaat een negatief moment, waardoor het vliegtuig met de wijzers van de klok mee zal draaien. Dit kan men vertalen naar dat de invalshoek groter wordt, en dat was het doel ook. Dit wordt allemaal bekeken aan de linkerzijde van het vliegtuig.

De enige as waar het vliegtuig om draait met behulp van slechts één roer is de draai as. Het roer zit nu ook aan de staart, maar dit keer zit het paneel er verticaal op. Het is moeilijker voor te stellen hoe dit roer werkt omdat er geen lift is wat verminderd of vermeerderd kan worden. Omdat het roer toch zal moeten werken, zal deze toch iets met de luchtstroom moeten doen, en wel precies zoals in alle andere voorbeelden.
We bekijken het vliegtuig in dit voorbeeld van boven af, met de neus vooruit gericht. Stel dat het vliegtuig naar rechts wilt draaien (met de neus met de wijzers van de klok mee). Er zal dan dus weer vanuit dit oogpunt een negatief moment worden gecreëerd. Het moment zal weer negatief moeten zijn, en dus zal de kracht moeten wijzen in de richting van de wijzers van de klok. Of, in dit voorbeeld, zal de kracht naar links moet werken. Even als de andere roeren, zal het draai roer dan een kracht op de lucht moeten uitoefenen die naar rechts is gericht. Om dit te bereiken zal de luchtstroom dus ook naar rechts moeten worden afgebogen. Het roer zal in deze situatie dan ook uitwijken naar rechts. Hierdoor wordt er een soort secundaire lift ontwikkelt, die weer een reactiekracht als gevolg heeft. Deze kracht is dan naar links gericht en daar is dan het negatieve moment. Dit negatieve moment zal een draaiing teweeg brengen, en het hele vliegtuig zal gaan draaien in de richting van de wijzers van de klok. Het vliegtuig draait naar rechts.

Bij al deze voorbeelden van het om de assen draaien gaat het steeds om een moment. Hoe groter het moment, hoe sneller het vliegtuig om zijn as zal gaan draaien. Het is duidelijk dat hoe groter de kracht, hoe sneller het vliegtuig zal gaan draaien. De kracht heeft dus ook invloed op het moment. Er geldt ook, hoe langer de arm is (de kortste afstand van het zwaartepunt tot de lijn waarover de kracht werkt) hoe groter het moment. Als men deze twee combineert krijg je:

M = F x r

Waarin M moment voorstelt, F de werkende kracht en r de arm. Om het vliegtuig sneller om zijn as te laten draaien kan men dus of de factor F vergroten (door bijvoorbeeld een grotere invalshoek te kiezen, waardoor er ook een grotere reactiekracht zal ontstaan) of de arm r. De arm kan worden vergroot door in het voorbeeld van het draai roer de staart verder naar achter te plaatsen, oftewel de romp langer maken. Omdat dit al bepaald is in de fabriek zal alleen de kracht F worden vergroot (door de hoek van de panelen te vergroten) om het moment te vergroten.

Al de besproken stof kan in praktijk in één mooi voorbeeld worden gedemonstreerd, namelijk een vliegtuig die in de lucht een bocht maakt. Ik zal hier stap voor stap omschrijven wat er in een bocht gebeurt, wat dit tot gevolg heeft en wat hier weer aan gedaan moet worden.

Stel een Boeing 737-400 vliegt recht vooruit. Op een gegeven moment moet de piloot een 90° bocht naar links maken. Het denkbeeldige middelpunt van de bocht zetten we in dit voorbeeld 5000 meter links van het vliegtuig op het moment dat deze de bocht in gaat zetten. Voordat de piloot de bocht zal gaan inzetten zal de stuwkracht gelijk zijn aan de wrijvingskracht, en de liftkracht gelijk aan de zwaartekracht. De snelheid van het vliegtuig is op dit moment 100 ms-1. de zwaartekracht die het vliegtuig opwekt is ( F = m x g = 34.555 kg x 9,81 ms-2 = ) 338.984,55 N. De liftkracht zal dus hetzelfde zijn. Op het moment dat de piloot de bocht in moet zetten zal het vliegtuig een resulterende kracht naar het middelpunt van de bocht moeten opwekken. Dit is gelijk de middelpuntzoekende kracht en is te definiëren als:

Fmpz = (mv2) / r

‘m’ is de massa van het vliegtuig, ‘v’ de snelheid van het vliegtuig en ‘r’ de straal van de denkbeeldige cirkel waar de bocht omheen wordt gemaakt.
Hier komt uit Fmpz = (34.555 x 1002) / 5000 = 69.110 N.
Deze kracht zal moeten worden opgewekt door de liftkracht. De liftkracht moet dan dus een component opwekken die naar de binnenkant van de cirkel is gericht. Om dit te doen zal het vliegtuig tegen de wijzers van de klok in moeten draaien (vanaf achteren gezien) door een positief moment te creëren aan de vleugels door middel van de rol roeren. De hoek α die het vliegtuig dan moet maken is natuurlijk afhankelijk van de benodigde middelpuntzoekende kracht en is als volgt uit te rekenen. De horizontale component moet 69.110 N bedragen, terwijl de hypothenusa (de liftkracht, niet ontbonden) 338.984,55 N is. De sinus van de ‘rolhoek’ is dus 69.110 N / 338.984,55 N = 0,204. De bijbehorende hoek is dan: 11,8°. Omdat de liftkracht nu een hoek maakt, zal de verticale component ervan (de component die alleen verantwoordelijk is voor het ‘in de lucht blijven’) afgenomen zijn. De lift wordt dus minder. Om te compenseren wordt er meer stuwkracht geleverd. Omdat het onmogelijk is om te zeggen hoeveel dit is (vanwege het feit dat elke kracht dan veranderd) nemen we gewoon aan dat het vliegtuig rechtdoor zal blijven vliegen met dezelfde snelheid.
Omdat de middelpuntzoekende kracht continu naar het midden gericht moet blijven (en de horizontale component van de liftkracht altijd haaks zal blijven staan op de vliegrichting), zal de vliegrichting moeten veranderen om de middelpuntzoekende kracht naar het midden te laten blijven wijzen. Om dit te realiseren wordt het draai – roer ingezet. Het draai – roer zal een positief (van boven gezien, met de neus naar voren)moment moeten opwekken om het vliegtuig naar links te laten draaien. Als we aannemen dat de snelheid van het vliegtuig constant blijft, kunnen we berekenen hoeveel graden per seconde het vliegtuig om zijn draai as moet draaien. De tijd dat het duurt om de bocht te maken berekenen we met de formule

t = s / v

s is de afstand en dat is in dit voorbeeld een kwart cirkel.
¼ x 2 x π x r = ¼ x 2 x π x 5000 = 2500π m

t = s / v = 2500π m / 100 ms-1 = 25π s = 78,5 s

In deze tijd wordt de hele bocht afgelegd. Het is een 90° bocht, die volledig wordt afgelegd binnen die 78,5 s. Elke seconde moet het vliegtuig dus 90°/ 78,5 s= 1,14° draaien. Omdat de draai – as ook onder een hoek van 11,8° met de horizon staat, zal het vliegtuig om zijn draai – as moeten draaien met als horizontale component de 1,14° s-1. De totale draaisnelheid van het vliegtuig moet dan zijn:

( 1,14° s-1 ) / cos (11,8°) = 1,17° s-1

Omdat deze draaisnelheid plaatsvindt bij de hoek waaronder het vliegtuig is gerold, zal er ook een component van de draaisnelheid naar beneden gericht zijn. Deze component zal bedragen:

sin (11,8°) x 1,17° s-1 = 0,24° s-1

Om dit naar beneden draaien van het vliegtuig tegen te gaan, zal het vliegtuig door middel van het stamp – roer een dusdanige kracht uit moeten oefenen wat er in rechte vlucht voor zou zorgen dat het vliegtuig met 0,24° s-1 omhoog zou draaien.

Als met al deze krachten rekening wordt gehouden, zal het vliegtuig keurig de bocht van 90° met straal 5km in 78,5 s voltooien. Als het vliegtuig op de juiste koers vliegt, worden alle standen en roeren weer hersteld tot de oorspronkelijke stand, waarna het vliegtuig weer verder op zijn nieuwe koers rechtdoor kan vliegen.